y3=-cos(g(x,y,z))隐函数函数是外凸的吗?g(x,y,z)在-1到1之间
时间: 2024-04-03 15:32:36 浏览: 11
要证明y3=-cos(g(x,y,z))是外凸的,需要先求出它的二阶导数,然后证明二阶导数在定义域内始终小于或等于0。由于g(x,y,z)在-1到1之间,我们只需要在该范围内讨论。
对y3求一阶导数,有:
dy3/dx = sin(g(x,y,z)) * dg(x,y,z)/dx
对y3求二阶导数,有:
d²y3/dx² = cos(g(x,y,z)) * [dg(x,y,z)/dx]² + sin(g(x,y,z)) * d²g(x,y,z)/dx²
要证明y3是外凸的,需要证明d²y3/dx²在定义域内始终小于或等于0。因此,我们需要证明:
cos(g(x,y,z)) * [dg(x,y,z)/dx]² + sin(g(x,y,z)) * d²g(x,y,z)/dx² ≤ 0
注意到cos(g(x,y,z)) ≤ 1,因此:
[dg(x,y,z)/dx]² + sin(g(x,y,z)) * d²g(x,y,z)/dx² ≤ 0
为了方便,记f(x,y,z)=g(x,y,z)。则上式可以写成:
[df(x,y,z)/dx]² + sin(f(x,y,z)) * d²f(x,y,z)/dx² ≤ 0
注意到sin(f(x,y,z))在-1到1之间始终小于或等于0,因此:
[df(x,y,z)/dx]² + sin(f(x,y,z)) * d²f(x,y,z)/dx² ≤ [df(x,y,z)/dx]² ≤ 0
最后一步是因为一阶导数的平方必定非负,因此上式成立。
综上所述,y3=-cos(g(x,y,z))在g(x,y,z)在-1到1之间是外凸的。