A = [0,1,0;0,0,1;0,0,0]; B = [0;0;1];设计控制,使系统从$x_0=(1,1,1)^T$出发的轨线在$t=1$时到达$x(1)=(2,2,2)^T$
时间: 2023-10-04 21:07:26 浏览: 37
根据系统的状态空间方程:
$$
\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)
$$
我们可以得到系统的增量方程:
$$
\Delta x(t)=e^{At}\Delta x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau
$$
其中,$\Delta x(t)=x(t)-x_d(t)$,$x_d(t)$为期望轨迹,$u(t)$为控制输入。
根据要求,我们可以得到期望轨迹为:
$$
x_d(t)=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}
$$
因此,$\Delta x(0)=x_0-x_d(0)=\begin{bmatrix}-1\\-1\\-1\end{bmatrix}$。
为了使系统从$x_0$出发的轨线在$t=1$时到达$x(1)=(2,2,2)^T$,我们需要确定控制输入$u(t)$。
由于$t=1$时系统需要到达$x(1)=(2,2,2)^T$,因此我们可以将期望轨迹定义为:
$$
x_d(t)=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}\cdot u(t)
$$
其中,$u(t)$为单位阶跃信号。
将期望轨迹代入增量方程中,我们可以得到:
$$
\Delta x(t)=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\Delta x(0)+\begin{bmatrix}0\\0\\\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau\end{bmatrix}\cdot u(t)
$$
我们可以求出$\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau$的值:
$$
\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau=\begin{bmatrix}t-\frac{t^2}{2}&\frac{t^2}{2}-t+\frac{1}{2}&\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{2}+t\end{bmatrix}^T
$$
因此,我们可以得到控制输入$u(t)$:
$$
u(t)=\begin{cases}0&t\lt 1\\1&t\geq 1\end{cases}
$$
综上,我们可以得到控制输入$u(t)$为单位阶跃信号,即:
$$
u(t)=\begin{cases}0&t\lt 1\\1&t\geq 1\end{cases}
$$
这样,系统从$x_0=(1,1,1)^T$出发的轨线在$t=1$时就可以到达$x(1)=(2,2,2)^T$。
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