A = [0,1,0;0,0,1;0,0,0]; B = [0;0;1];设计控制，使系统从$x_0=(1,1,1)^T$出发的轨线在$t=1$时到达$x(1)=(2,2,2)^T$

根据系统的状态空间方程：
$$
\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)
$$
我们可以得到系统的增量方程：
$$
\Delta x(t)=e^{At}\Delta x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau
$$
其中，$\Delta x(t)=x(t)-x_d(t)$，$x_d(t)$为期望轨迹，$u(t)$为控制输入。

根据要求，我们可以得到期望轨迹为：
$$
x_d(t)=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}
$$
因此，$\Delta x(0)=x_0-x_d(0)=\begin{bmatrix}-1\\-1\\-1\end{bmatrix}$。

为了使系统从$x_0$出发的轨线在$t=1$时到达$x(1)=(2,2,2)^T$，我们需要确定控制输入$u(t)$。

由于$t=1$时系统需要到达$x(1)=(2,2,2)^T$，因此我们可以将期望轨迹定义为：
$$
x_d(t)=\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}\cdot u(t)
$$
其中，$u(t)$为单位阶跃信号。

将期望轨迹代入增量方程中，我们可以得到：
$$
\Delta x(t)=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\Delta x(0)+\begin{bmatrix}0\\0\\\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau\end{bmatrix}\cdot u(t)
$$
我们可以求出$\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau$的值：
$$
\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}d\tau=\begin{bmatrix}t-\frac{t^2}{2}&\frac{t^2}{2}-t+\frac{1}{2}&\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{2}+t\end{bmatrix}^T
$$
因此，我们可以得到控制输入$u(t)$：
$$
u(t)=\begin{cases}0&t\lt 1\\1&t\geq 1\end{cases}
$$

综上，我们可以得到控制输入$u(t)$为单位阶跃信号，即：
$$
u(t)=\begin{cases}0&t\lt 1\\1&t\geq 1\end{cases}
$$
这样，系统从$x_0=(1,1,1)^T$出发的轨线在$t=1$时就可以到达$x(1)=(2,2,2)^T$。