编写程序实现2的200次方位的 Rabin 公钥密码系统。

Rabin公钥密码系统是一种基于模平方根非平凡性的加密算法，它将大数分解成两个接近相等的部分，而不是直接求解密钥。下面是一个简单的Python示例，用于生成并使用Rabin公钥对来加密2的200次方：

import math

# 定义基本的Rabin加密函数
def encrypt(message, n):
    # 检查消息长度是否满足模n的要求
    if len(bin(message)) > n.bit_length():
        raise ValueError("Message too large for the given modulus")
    
    # 加上1是因为在加密前需要将消息转换为整数
    encrypted = (message + 1) % n
    return encrypted

# 计算n，这里我们取一个小于2^200的大素数，比如n = 2^200 - 79
def generate_prime(nbits=200):
    while True:
        candidate = 2 ** nbits - 79  # 这里选择一个特定形式的素数
        if is_prime(candidate):
            return candidate

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

# 生成一对Rabin密钥（p和q）
p = generate_prime()
q = generate_prime()

# 计算n和欧拉函数phi(n)
n = p * q
phi_n = (p - 1) * (q - 1)

# 根据RSA的性质选取公钥e和私钥d，其中gcd(e, phi_n) = 1
e = 2**16 + 1  # 通常选择一个小的素数作为公钥指数
d = inverse(e, phi_n)  # 寻找e关于phi_n的逆元作为私钥

# 明文：m = 2的200次方
plaintext = pow(2, 200, n)

# 加密
ciphertext = encrypt(plaintext, n)

print(f"Original message: {plaintext}")
print(f"Ciphertext: {ciphertext}")

# 因为这是教学演示，实际应用中你需要妥善保管公钥和私钥，并在解密时使用相应的私钥。