scipy.erf的近似实现

scipy库中的erf函数实现了高斯误差函数的精确计算，但是其计算复杂度较高，不适用于某些应用场景。在实际应用中，我们可以使用一些近似公式来计算erf函数的值。

一种常用的近似公式是泰勒级数展开式：

$$erf(x) \approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

其中，N为级数展开的截断阶数。当N较大时，该公式的精度较高。

另一种近似公式是有理函数逼近：

$$erf(x) \approx sign(x)\sqrt{1-e^{-x^2\frac{4}{\pi}+\frac{ax^2}{1+bx^2}}},\quad a=0.147, b=0.647$$

这种方法也能够达到较高的计算精度。

以下是Python代码实现这两种近似公式的erf函数：

import numpy as np

def erf_taylor(x, N=10):
    """
    使用泰勒级数展开式计算erf函数的值
    """
    s = 0
    for n in range(N+1):
        s += (-1)**n * x**(2*n+1) / (n * 2 + 1) / np.math.factorial(n)
    return 2 / np.sqrt(np.pi) * s

def erf_rational(x):
    """
    使用有理函数逼近计算erf函数的值
    """
    a, b = 0.147, 0.647
    return np.sign(x) * np.sqrt(1 - np.exp(-x**2 * 4 / np.pi + a * x**2 / (1 + b * x**2)))

这两个函数都接受一个参数x，表示要计算erf函数的自变量。erf_taylor函数还接受一个可选参数N，表示泰勒级数展开的截断阶数。在实际应用中，可以根据需要选择合适的阶数来平衡计算速度和精度。