求解周期矩形脉冲信号的傅立级数形式matlab

周期矩形脉冲信号的数学表达式为：

$$
f(t) = \frac{A}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{rect}\left(\frac{t-nT}{\tau}\right)
$$

其中，$A$ 为矩形脉冲的幅度，$T$ 为矩形脉冲的周期，$\tau$ 为矩形脉冲的宽度，$\mathrm{rect}(x)$ 为矩形函数，即：

$$
\mathrm{rect}(x) = \begin{cases}
1, & |x| < \frac{1}{2} \\
0, & |x| \geq \frac{1}{2}
\end{cases}
$$

傅立叶级数的一般形式为：

$$
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j\frac{2\pi}{T}nt}
$$

其中，$c_n$ 为傅立叶系数，其计算公式为：

$$
c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-j\frac{2\pi}{T}nt} dt
$$

将周期矩形脉冲信号代入上式，得到：

$$
c_n = \frac{A}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) e^{-j\frac{2\pi}{T}nt} dt
$$

整理得：

$$
c_n = A \mathrm{sinc}\left(\frac{n\tau}{T}\right)
$$

其中，$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。

因此，周期矩形脉冲信号的傅立叶级数形式为：

$$
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A \mathrm{sinc}\left(\frac{n\tau}{T}\right) e^{j\frac{2\pi}{T}nt}
$$

在 MATLAB 中，可以用以下代码计算周期矩形脉冲信号的傅立叶级数：

% 定义信号参数
A = 1;     % 幅度
T = 1;     % 周期
tau = 0.2; % 宽度

% 计算傅立叶系数
n = -10:10;
cn = A * sinc(n*tau/T);

% 计算傅立叶级数
t = -5:0.01:5;
f = zeros(size(t));
for i = 1:length(n)
    f = f + cn(i) * exp(1j*2*pi*n(i)/T*t);
end

% 绘制信号和傅立叶级数
subplot(2,1,1);
plot(t, A * rectpuls(t/tau) );
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
title('周期矩形脉冲信号');
subplot(2,1,2);
plot(t, real(f), t, imag(f) );
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
title('傅立叶级数');
legend('实部', '虚部');