证明:投影矩阵$P \in \mathbb{R}^{n \times n}$是正交投影矩阵的充要条件是$P^\top=P$.
时间: 2023-07-27 09:07:49 浏览: 44
充分性:
若$P$是正交投影矩阵,则$P^2 = P$且$P$是正交矩阵,即$P^\top P = P P^\top = I$。同时,由于$P^2=P$,我们有$P^\top=P^{-1}$。因此:
$$P^\top P = P P^\top = I$$
$$P^\top P = I$$
$$P^\top = P$$
因此,$P^\top=P$是正交投影矩阵的充分条件。
必要性:
若$P^\top=P$,我们需要证明$P^2=P$且$P$是正交矩阵。对于任意向量$x\in \mathbb{R}^n$,有:
$$P^2x = P(Px) = P(P^\top x) = PP^\top x = Px$$
因此,$P^2=P$。同时,对于任意向量$x, y \in \mathbb{R}^n$,我们有:
$$\langle Px, Py\rangle = x^\top P^\top Py = x^\top PPy = \langle x, Py\rangle$$
因此,$P$是正交矩阵。因此,$P^\top=P$是正交投影矩阵的必要条件。
相关问题
将一下代码翻译成符号$\forall$:对于所有的; $\exists$:存在一个; $\in$:属于; $\notin$:不属于; $\cup$:并集; $\cap$:交集; $\mathbb{N}$:自然数集合; $\mathbb{Z}$:整数集合; $\mathbb{Q}$:有理数集合; $\mathbb{R}$:实数集合; $\mathbb{C}$:复数集合; $\lim$:极限; $\rightarrow$:趋于; $=$:等于; $\neq$:不等于; $\approx$:约等于; $\times$:乘号; $+$:加号; $-$:减号; $\div$:除号; $\frac{a}{b}$:分数线; $\sqrt{x}$:开方符号; $\int$:定积分号; $\sum$:求和号。
$\forall$:对于所有的;
$\exists$:存在一个;
$\in$:属于;
$\notin$:不属于;
$\cup$:并集;
$\cap$:交集;
$\mathbb{N}$:自然数集合;
$\mathbb{Z}$:整数集合;
$\mathbb{Q}$:有理数集合;
$\mathbb{R}$:实数集合;
$\mathbb{C}$:复数集合;
$\lim$:极限;
$\rightarrow$:趋于;
$=$:等于;
$\neq$:不等于;
$\approx$:约等于;
$\times$:乘号;
$+$:加号;
$-$:减号;
$\div$:除号;
$\frac{a}{b}$:分数线;
$\sqrt{x}$:开方符号;
$\int$:定积分号;
$\sum$:求和号。
$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$ 翻译成公式
$X = \begin{bmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,d} \\
x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,d} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,d}
\end{bmatrix}$
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