高斯 － 牛顿迭代法

高斯-牛顿迭代法是一种用于解决非线性最小二乘问题的数值优化算法[^1]。它通过迭代的方式逐步优化参数的估计值，以使得拟合模型与实际观测数据之间的误差最小化[^2]。

下面是高斯-牛顿迭代法的基本步骤：
1. 初始化参数的估计值。
2. 计算模型的残差，即观测数据与拟合模型之间的差异。
3. 计算残差对参数的雅可比矩阵，即模型对参数的偏导数。
4. 使用雅可比矩阵和残差来更新参数的估计值。
5. 重复步骤2至4，直到达到收敛条件。

通过不断迭代更新参数的估计值，高斯-牛顿迭代法可以逐步优化模型的拟合效果，使得拟合模型与实际观测数据之间的误差最小化。

相关问题

用Matlab写出分别用牛顿迭代法、高斯-赛德尔迭代法、二分法，三种用不动点迭代的方法求25的立方根的值，并判断收敛性，展示计算前10步，并进行对比。

在MATLAB中，我们可以分别编写函数来实现牛顿迭代法、高斯-赛德尔迭代法以及二分法求解25的立方根。这里是一个简化的例子：

% 定义初始猜测值
x0 = 1;
tol = 1e-6; % 设置收敛阈值

% 牛顿迭代法
function x_newton = newtonCubeRoot(n)
    while true
        x_newton = (2 * x0 + n / x0^2) / 3;
        if abs(x_newton - x0) < tol
            break;
        end
        x0 = x_newton;
    end
end

% 高斯-赛德尔迭代法（对于立方根并非典型应用，此处简化）
function x_gs = gaussSeidelCubeRoot(n)
    x_gs = 1;
    for i = 1:10
        error = n / x_gs^3 - 1;
        x_gs = x_gs - error;
        if abs(error) < tol
            break;
        end
    end
end

% 二分法
function x_binary = binaryCubeRoot(n)
    a = 0;
    b = 1;
    for i = 1:10
        c = (a + b) / 2;
        if n / c^3 <= c
            b = c;
        else
            a = c;
        end
        if abs(b - a) < tol
            break;
        end
    end
    x_binary = b;
end

% 计算并显示前10步
results = struct('Newton', newtonCubeRoot(25), 'GS', gaussSeidelCubeRoot(25), 'Binary', binaryCubeRoot(25));
for method in {'Newton', 'GS', 'Binary'}
    fprintf('%s 方法第10步结果: %f\n', method, results.(method));
end

% 判断收敛性并比较
converged = @(x) all(abs(results Newton - results GS) < tol);
fprintf('牛顿法和高斯-赛德尔法是否收敛: %d\n', converged(results.Newton));
converged = @(x) all(abs(results.Newton - results.Binary) < tol);
fprintf('牛顿法和二分法是否收敛: %d\n', converged(results.Newton));

% 结果对比
disp(['牛顿法与高斯-赛德尔法前10步对比: ', num2str(results.Newton(10)) ', ', num2str(results.GS(10))]);
disp(['牛顿法与二分法前10步对比: ', num2str(results.Newton(10)) ', ', num2str(results.Binary(10))]);

请注意，实际应用中高斯-赛德尔迭代法对于立方根这类问题并不是最佳选择，因为它的优势在于解决线性系统而非非线性方程。此外，由于二分法不是针对特定方程设计的，它可能不如牛顿迭代法快达到收敛。