U218120 数数小木块

这是一个数学问题。假设有 $n$ 个木块，它们的长度分别为 $l_1, l_2, ..., l_n$，其中 $l_i$ 表示第 $i$ 个木块的长度。现在要求将这些木块排成一行，相邻两个木块的长度之和必须等于 $k$，求满足要求的排列方案数。

这个问题可以用动态规划来解决。我们设 $dp_{i,j}$ 表示前 $i$ 个木块排成一行，最后一个木块的长度为 $j$ 的方案数。那么状态转移方程为：

$$dp_{i,j} = \sum_{k=1}^n [l_k + j = k] dp_{i-1,l_k}$$

其中 $[l_k + j = k]$ 表示当 $l_k+j=k$ 时为 $1$，否则为 $0$。表示如果第 $i$ 个木块的长度为 $l_k$，且与前一个木块相邻的长度之和为 $j$，那么就可以将第 $i$ 个木块放在第 $i-1$ 个木块的后面。最终的答案就是 $\sum_{j=1}^n dp_{n,j}$。

需要注意的是，当 $j=1$ 或者 $j=n$ 时，转移方程需要特殊处理，因为这时候相邻两个木块的长度之和只能为 $l_1$ 或者 $l_n$。

相关问题

Vittorio想搭建一个模型，其中一些紫色积木块在如下n个位置：（x1,0,h）,（x2,0,h）,...,（xn,0,h）—这 些位置是积木块底面中心的坐标，注意这些积木块所有的y=0且z=h。 Vittorio将用其他颜色的积木块来支撑紫色积木块，他希望放置积木块的位置满足底面中心坐标y=0。 搭建一个有效的模型。 输入： – 第一行包括两个整数n和h（1≤n≤300,0≤h≤109）， 分别为紫色积木块数和对应的z坐标值。 – 第二行包括n个整数x1,x2,...,xn（1≤xi≤109， xi+1<xi+1），分别为紫色积木块的x坐标值且按递 增排序。 u 输出： – 输出搭建有效模型所需最少的附加积木块数目。

算法1：

首先我们要认识到的是，紫色积木块所在的这一行上的支撑积木块数量是相等的。

我们可以考虑贪心，每次先找到最左侧的紫色积木块i，然后再往右扫描找到下一个紫色积木块i+1，然后找到它们之间的最大跨度maxd。

对于这个跨度，我们算出最少需要maxd+1个灰色积木块来支撑。这其实很好理解，因为这个跨度上的任意一个地方都必须要有一块灰色积木块来支撑紫色积木块。

代码如下：

写大学物理题，一质量为M的木块置于倔强系数为k的弹簧上, 系统处于静止状态, 一团质量为m的粘土自木块上方高处由静止自由下落。并与木块粘在一起运动。 试求: (1) 碰后瞬时系统的速度。(2) 木块的最大位移。(写明系统划分及势能零点)

系统划分：将木块和弹簧看做一个系统，将粘土看做另一个系统。

势能零点：将木块和弹簧系统的势能零点设为木块和弹簧分别处于自然长度时的弹性势能之和，即$U_{0}=\frac{1}{2}kx_0^2$，其中$x_0$为弹簧的自然长度；将粘土系统的势能零点设为粘土处于初始高度时的重力势能，即$U_{0}=mgh$，其中$h$为粘土的初始高度。

(1) 考虑质心系，由动量守恒可得：
$$
(M+m)v=Mv_{0}
$$
其中$v$为碰后瞬时系统的速度，$v_{0}$为粘土自由落体时的速度。因此，
$$
v=\frac{M}{M+m}v_{0}
$$

(2) 系统的总机械能守恒，因此系统的总机械能在碰撞前后保持不变，即$E=\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kx^2=U_{0}+mgh$。当系统速度为零时，势能最大，即$E_{max}=U_{0}+mgh$。因此，系统的最大位移为：
$$
x_{max}=\sqrt{\frac{2}{k}\left(U_{0}+mgh-\frac{1}{2}(M+m)v_{0}^2\right)}
$$

注：在计算最大位移时，需注意此时的弹簧伸长量为$x_{max}-x_{0}$。