动态规划0-1背包问题的数学建模

动态规划0-1背包问题的数学建模如下：

假设有一组物品，每件物品的重量为 $w_i$，价值为 $v_i$，现在有一个容量为 $W$ 的背包。要求从这组物品中选出若干件放入背包中，使得在满足背包最大容量的限制下，背包中物品的总价值最大。

设 $f(i,j)$ 表示将前 $i$ 件物品放入容量为 $j$ 的背包中所能获得的最大价值，则该问题的数学建模为：

$$
f(i,j) = \begin{cases}
0, & i=0 \text{ 或 } j=0 \\
f(i-1,j), & j<w_i \\
\max\{f(i-1,j),f(i-1,j-w_i)+v_i\}, & j\ge w_i
\end{cases}
$$

其中第一行表示当物品数量为 0 或背包容量为 0 时，背包的价值为 0；第二行表示当前物品的重量大于背包容量时，不能放入背包；第三行表示当前物品的重量小于等于背包容量时，可以选择放入或不放入背包，取两者中的最大值。最终答案为 $f(n,W)$，其中 $n$ 表示物品的总数。