模型预测控制的公式推导

MPC的核心思想是通过对未来一段时间内的系统行为进行预测，并在当前时刻选择最优的控制动作来实现对系统的控制。这个过程可以用如下的数学模型表示：

首先，我们需要将系统的动态行为用一个数学模型来描述，通常采用差分方程的形式，比如：

x(k+1) = A*x(k) + B*u(k) + E*w(k)

其中，x(k)表示系统的状态，u(k)表示控制输入，w(k)表示外部干扰，A、B、E是系统的参数矩阵。

其次，我们需要定义一个性能指标，用来衡量系统的控制质量，通常采用二次型的形式，比如：

J = ∑(x(k)'*Q*x(k) + u(k)'*R*u(k))

其中，Q和R是正定矩阵，用来调节状态和控制的权重。

最后，我们需要通过对未来一段时间内的系统行为进行预测，并在当前时刻选择最优的控制动作来实现对系统的控制。这个过程可以用如下的优化问题来描述：

min J(u) = ∑(x(k|t)'*Q*x(k|t) + u(k|t)'*R*u(k|t))

s.t. x(k|t+1) = A*x(k|t) + B*u(k|t)

其中，x(k|t)表示在时刻t下对未来一段时间内的系统状态进行预测得到的状态值，u(k|t)表示在时刻t下的控制输入，即为优化变量。s.t.表示在预测时需要遵循系统的动态方程约束。

该优化问题可以采用求解器进行求解，得到当前时刻的最优控制输入，从而实现对系统的控制。