如何编写实现自适应龙格库塔法的算法代码？

自适应龙格-库塔法（Adaptive Runge-Kutta methods）是一种数值积分方法，它通过动态调整步骤大小来提高计算精度和效率。下面是一个简单的示例，说明如何用Python编写基于四阶Runge-Kutta（RK4）的自适应版本：

import numpy as np

def adapt_rk4(f, y0, t0, tf, h_initial, tol):
    """
    自适应四阶龙格-库塔法
    :param f: 微分方程的函数处理器，接受y和t作为输入，返回dy/dt
    :param y0: 初始条件
    :param t0: 初始时间
    :param tf: 结束时间
    :param h_initial: 初始步长
    :param tol: 求解误差容忍度
    """
    t = t0
    y = y0
    h = h_initial
    while t < tf:
        # 四阶Runge-Kutta步骤
        k1 = h * f(y, t)
        k2 = h * f(y + k1 / 2, t + h / 2)
        k3 = h * f(y + k2 / 2, t + h / 2)
        k4 = h * f(y + k3, t + h)

        # 计算新的y值并更新时间
        new_y = y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
        t += h

        # 如果误差小于容忍度，则接受当前步长，否则调整步长
        error = abs(new_y - y)
        if error < tol:
            y = new_y
            continue
        
        # 自适应调整步长
        ratio = error / max(np.abs(k1), np.abs(k2), np.abs(k3), np.abs(k4))
        h *= min(2., max(0.9, 1. / ratio ** 2))

    return y, t

# 示例用法
def dy_dt(y, t):
    # 这里替换为你实际的微分方程
    pass

y_solution, t_solution = adapt_rk4(dy_dt, y0=0, t0=0, tf=1, h_initial=0.1, tol=1e-8)