手动方式求s,t,使得 s×a+t×b=(a,b)其中(a,b)为(202,282),(1613,3589),编写程序:用扩展的Euclid算法求 s×a+t×b=(a,b), 并进行算法验证。
时间: 2024-09-29 19:09:51 浏览: 30
手动求解 \(s\) 和 \(t\) 的过程涉及到扩展欧几里得算法。对于给定的数值对 \((a, b)\),我们首先需要找到这两个数的最大公约数(GCD)。然后按照算法步骤逐步计算 \(x\) 和 \(y\),它们满足 \(ax + by = \text{GCD}(a, b)\)。
对于例子 \((a, b) = (202, 282)\) 和 \((1613, 3589)\),我们先分别计算它们的最大公约数:
1. 对于 \( (202, 282) \)
- \( gcd(202, 282) = ? \)
- 计算 \(x_1\) 和 \(y_1\) 使得 \(202x_1 + 282y_1 = \text{gcd}\)
2. 对于 \( (1613, 3589) \)
- \( gcd(1613, 3589) = ? \)
- 计算 \(x_2\) 和 \(y_2\) 使得 \(1613x_2 + 3589y_2 = \text{gcd}\)
一旦得到了每个数对的最大公约数和对应的 \(x\) 和 \(y\),我们可以将 \(s\) 设置为 \(x\),\(t\) 设置为 \(y\),因为 \(sa + tb = ax + by\)。
下面是一个简单的 Python 程序来计算并验证这两个例子:
```python
from math import gcd
# 定义函数来计算 x, y
def extended_euclid_extended(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
else:
x, y, gcd_val = extended_euclid_extended(b, a % b)
return gcd_val, y, x - (a // b) * y
# 计算每个数对的最大公约数和 x, y
pairs = [(202, 282), (1613, 3589)]
for a, b in pairs:
gcd_val, x, t = extended_euclid_extended(a, b)
s = x # 因为 s = x
print(f"\n对于 ({a}, {b}),有 s={s}, t={t}, sa+tb={a*s+b*t} 对应最大公约数 {gcd_val}")
# 验证是否满足 ax + by = gcd(a, b)
for a, b, x, y in zip(pairs, [x for _, x, _ in pairs], [y for _, _, y in pairs]):
print(f"验证 ({a}, {b}): {a*x + b*y} 是否等于 gcd({a}, {b}): {gcd(a, b)}")
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