计算二阶马尔可夫信源的平稳分布概率
时间: 2023-05-29 20:04:25 浏览: 76
计算二阶马尔可夫信源的平稳分布概率需要先构建转移概率矩阵,并求解该矩阵的特征向量,再将特征向量进行归一化。
假设二阶马尔可夫信源的符号集为{A,B,C},则其状态空间大小为3*3=9。设P(i,j)表示从状态i转移到状态j的概率,则转移概率矩阵为:
AAB ABA ACA BAA BBA BCA CAA CBA CCA
AAB 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 0 0 0
ABA 1/3 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0
ACA 1/3 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0
BAA 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0
BBA 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0 0 0
BCA 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0 0 0
CAA 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2 1/2
CBA 0 0 0 0 0 0 1/3 1/3 1/3
CCA 0 0 0 0 0 0 1/3 1/3 1/3
对于该矩阵,求解其特征值和特征向量,得到:
特征值λ1=1、λ2=1/2、λ3=0,对应的特征向量为:
λ1=1时,特征向量v1=(2/5,1/5,2/5,0,0,0,0,0,0)
λ2=1/2时,特征向量v2=(0,0,0,1/3,1/3,1/3,0,0,0)
λ3=0时,特征向量v3=(1/2,-1/2,0,1/2,-1/2,0,1/2,-1/2,0)
将这些特征向量进行归一化,得到:
v1=(2/5,1/5,2/5,0,0,0,0,0,0)
v2=(0,0,0,1/3,1/3,1/3,0,0,0)
v3=(1/3,-1/3,0,1/3,-1/3,0,1/3,-1/3,0)
因为所有特征向量都是线性无关的,所以平稳分布概率为它们的线性组合,即:
π = α1v1 + α2v2 + α3v3
其中,α1、α2、α3分别是待求的系数,满足它们之和为1。由于平稳分布概率是非负的,且其总和为1,因此可以将α1设置为1,然后用另外两个系数来满足上述条件。解得:
α1 = 1
α2 = 3/5
α3 = 2/5
因此,二阶马尔可夫信源的平稳分布概率为:
π = (2/5,1/5,2/5,1/5,1/5,1/5,2/5,1/5,2/5)