serret-frenet 路径追踪

Serret-Frenet路径追踪是一种用于描述和计算二维或三维曲线的几何工具。它基于法向量、切线向量和副法向量的概念，可以描述曲线的形状、方向和弯曲程度。

Serret-Frenet框架由一组彼此垂直的三个单位向量组成：切线向量T、法向量N和副法向量B。切线向量指示曲线在某一点上的切线方向，法向量指示曲线的法线方向，而副法向量则指示曲线的副法线方向（垂直于切线和法向量的方向）。

使用Serret-Frenet框架，可以计算曲线在给定点的切线、法线和副法线。这样的计算对于很多应用是很重要的，例如计算曲线的曲率和扭曲率，插值曲线上的点，或者在路径规划中跟踪曲线。

在路径追踪问题中，使用Serret-Frenet框架时可以基于曲线的性质来生成路径。通过计算曲线上点的切线、法线和副法线，可以确定车辆在该点的方向、离心力和横向偏移等参数。这样，在实时控制和调整车辆轨迹时，就可以基于这些参数来调整车辆的转弯角度、速度和位置。

总之，Serret-Frenet路径追踪是一种基于曲线的几何描述方法，用于计算曲线上的切线、法线和副法线。在路径追踪中，可以利用这些参数来实现实时控制和调整车辆的轨迹。它在自动驾驶、机器人导航和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

相关问题

弗勒内-塞雷公式推导

弗勒内-塞雷公式（Frenet-Serret formula）用来描述欧几里得空间中的粒子在连续可微曲线上的运动。公式描述了曲线的切向矢量T，法向矢量N和副法向矢量B之间的关系。弗勒内-塞雷公式可以通过对曲线上的点进行微分来推导。

根据弗勒内-塞雷公式的推导，我们可以得到如下公式：

d T d s = κ N
d N d s = -κ T - τ B
d B d s = -τ N

其中，dT/ds表示切向矢量T对弧长s的导数，dN/ds表示法向矢量N对弧长s的导数，dB/ds表示副法向矢量B对弧长s的导数。κ表示曲率（curvature），τ表示挠率（torsion）。

在无人驾驶路径规划应用中，常常将车辆运动曲线投影到同一平面内，并设定挠率为0。这样，弗勒内公式可以进一步简化为：

d T d s = κ N
d N d s = -κ T

这就是在无人驾驶路径规划中常用的简化弗勒内公式。

以上是弗勒内-塞雷公式的推导过程和简化形式。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [【自动驾驶】Frenet坐标系与Cartesian坐标系（一）](https://blog.csdn.net/weixin_42301220/article/details/125211683)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
[ .reference_list ]

计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy的matlab代码

以下是计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy的MATLAB代码：

function energy = integral_menger_curvature_energy(x,y,z)

% 计算三维闭合曲线Integral Menger curvature energy

% 输入参数：
% x: 闭合曲线上所有点的x坐标，1xn向量
% y: 闭合曲线上所有点的y坐标，1xn向量
% z: 闭合曲线上所有点的z坐标，1xn向量

% 输出参数：
% energy: 曲线的Integral Menger curvature energy

n = length(x); % 曲线上点的数量

% 计算每个点处的曲率
kappa = zeros(1,n);
for i = 1:n
    if i == 1
        p1 = [x(n), y(n), z(n)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(i+1), y(i+1), z(i+1)];
    elseif i == n
        p1 = [x(i-1), y(i-1), z(i-1)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(1), y(1), z(1)];
    else
        p1 = [x(i-1), y(i-1), z(i-1)];
        p2 = [x(i), y(i), z(i)];
        p3 = [x(i+1), y(i+1), z(i+1)];
    end
    kappa(i) = compute_curvature(p1, p2, p3);
end

% 计算Integral Menger curvature energy
energy = 0;
for i = 1:n
    energy = energy + kappa(i)^2;
end
energy = energy/n;

end

function kappa = compute_curvature(p1, p2, p3)

% 计算三个点处的曲率

% 输入参数：
% p1: 第一个点，1x3向量
% p2: 第二个点，1x3向量
% p3: 第三个点，1x3向量

% 输出参数：
% kappa: 曲率

% 计算两个相邻点之间的向量
v1 = p2 - p1;
v2 = p3 - p2;

% 计算曲率
kappa = norm(cross(v1,v2)) / norm(v1)^3;

end

代码中的 `compute_curvature` 函数计算三个点处的曲率，这里采用的是 Frenet-Serret 公式进行计算。然后根据 Integral Menger curvature energy 的定义，计算每个点处的曲率，最后求出整条曲线的 Integral Menger curvature energy。