CCA典型相关分析原理

CCA（Canonical Correlation Analysis）典型相关分析是一种多元统计分析方法，用于研究两组变量之间的线性关系。其基本思想是将两组变量通过线性变换映射到低维空间中，使得两组变量在该空间中的相关性最大。具体来说，CCA通过构造Lagrangian等式，利用拉格朗日乘子法求解出两组变量的典型相关变量，即两组变量在低维空间中的投影向量，从而得到它们之间的典型相关系数。典型相关系数越大，说明两组变量之间的相关性越强。

在实际应用中，CCA可以用于数据降维、特征提取、模式识别等领域。例如，在故障检测中，可以利用CCA来分析传感器数据和故障模式之间的关系，从而实现故障检测和诊断。

代码示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

# 构造两组变量X和Y
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
Y = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])

# 计算X和Y的协方差矩阵
Cxx = np.cov(X.T)
Cyy = np.cov(Y.T)
Cxy = np.cov(X.T, Y.T)

# 计算广义特征值和广义特征向量
eigvals, eigvecs = eig(np.dot(np.dot(np.linalg.inv(Cxx), Cxy), np.dot(np.linalg.inv(Cyy), Cxy.T)))

# 取前k个最大的广义特征值对应的广义特征向量
k = 2
idx = np.argsort(eigvals)[::-1][:k]
Wx = eigvecs[:, idx].real
Wy = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(Cyy), Cxy.T), Wx).real

# 计算典型相关变量
U = np.dot(X, Wx)
V = np.dot(Y, Wy)

# 计算典型相关系数
R = np.corrcoef(U.T, V.T)[k:, :k]

print("典型相关系数：", R)