请解释在自动控制系统中，如何通过极点配置来优化系统的超调和稳定性？并给出相应的数学模型和实例分析。

在自动控制系统中，极点配置是一个关键的概念，它通过改变系统的极点位置来调整系统的动态性能，从而实现对超调和稳定性的优化。为了深入理解这一过程，我们推荐《自动控制理论第三版习题解析与答案》这本书，它不仅包含了控制系统的基础知识，还详细讲解了极点配置以及系统性能分析的相关题目。

参考资源链接：[自动控制理论第三版习题解析与答案](https://wenku.csdn.net/doc/5hjaiuk5yk?spm=1055.2569.3001.10343)

极点配置的基本思想是通过调整控制器参数使得闭环系统的主要极点分布在复平面的特定区域，以满足设计要求。例如，为了减小系统的超调量，设计者通常希望极点远离虚轴；而对于稳定性要求较高的系统，设计者会确保所有闭环极点都位于复平面的左半平面。

在数学模型方面，一个典型的二阶系统可以表示为传递函数：

\[ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]

其中，\( \omega_n \) 是系统的自然频率，而 \( \zeta \) 是阻尼比。系统的超调量可以通过阻尼比来控制，超调量的峰值随阻尼比的减小而增大。因此，通过调整阻尼比 \( \zeta \)，可以实现对超调量的控制。

以一个简单的例子来说，假设一个单位负反馈系统的开环传递函数为：

\[ G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+3)} \]

闭环传递函数为：

\[ T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{K}{s^2 + 4s + (3+K)} \]

系统有两个极点位于 \( s = -2 \pm \sqrt{4 - (3 + K)} \)。为了减小超调量，我们需要增加 \( K \) 值来增加阻尼比，使得系统极点远离虚轴。

最后，通过实例分析和习题解答的实践，学习者可以将理论知识与实际问题相结合，进一步掌握极点配置对系统超调和稳定性的影响，从而在实际设计中灵活运用这些概念来达到预期的控制效果。为了深入学习和理解自动控制系统的分析和设计方法，建议进一步研究《自动控制理论第三版习题解析与答案》中相关章节的习题和解答。

参考资源链接：[自动控制理论第三版习题解析与答案](https://wenku.csdn.net/doc/5hjaiuk5yk?spm=1055.2569.3001.10343)