二维抛物型方程预-校格式

二维抛物型方程预-校格式（Petrov-Galerkin预处理）通常用于求解偏微分方程（PDEs）中的线性或非线性问题，特别是那些涉及时间依赖和空间复杂性的方程。这种方法结合了有限元素法（FEM）和 galerkin 概念，常用于数值计算中。

在二维抛物型方程的预-校格式中，过程大致分为以下几个步骤：

1. **离散化**：首先，我们将连续的二维空间划分为多个子区域（元素），每个元素内用一个简单的函数（如多项式或正弦函数）近似。这一步通常使用有限元基函数。

2. **弱形式**：将偏微分方程转化为弱形式，这意味着方程在每个元素上乘以一个测试函数并积分，这样可以将问题转换为矩阵形式，更便于计算。

3. **预处理**（Petrov-Galerkin）：这里的关键在于选择合适的测试函数（也称为权重函数）和试函数。预处理包括：
- 选择适当的正交性条件，使得测试函数和有限元基函数在每个元素上是正交的。这有助于简化计算，因为这会导致系数矩阵是对称的。
- 应用边界条件，可能需要对有限元的边界进行特定的处理，以保证解决方案的正确性。

4. **列主元方法（Row-reduction）**：为了提高矩阵的稀疏性和计算效率，预处理常常涉及到列主元方法，这可以简化求解过程，特别是在大规模计算中。

5. **迭代求解**：使用预处理后的矩阵和初始条件，应用线性代数算法（如直接求解器或迭代方法）求解系统。

6. **后处理**：得到解之后，可能还需要进行后处理，如插值、平滑或其他可视化操作。