请解释群的线性表示中舒尔引理的应用，并举例说明特征标表如何用于确定群表示的不可约性？

群的线性表示理论是代数结构与线性代数相结合的产物，它允许我们在线性空间中研究群的性质。在这其中，舒尔引理扮演了一个核心角色，尤其是在确定表示的不可约性方面。舒尔引理指出，在有限维不可约表示中，任何与表示可交换的线性映射都必须是满射或零映射。这意味着对于给定的不可约表示，能够与之交换的线性映射数量是有限的。

参考资源链接：[群论：舒尔引理与群的线性表示关键](https://wenku.csdn.net/doc/3mrfb4j4rg?spm=1055.2569.3001.10343)

为了具体说明舒尔引理的应用，考虑一个群G的不可约表示V，定义一个线性映射φ：V→V，如果φ与群G的任何元素g在V上的作用都可交换，即对于所有的v∈V和g∈G有φ(gv)=gφ(v)，则根据舒尔引理，φ必须是一个标量乘以单位映射，即φ=λI，其中λ是复数，I是V上的恒等映射。这个性质在分析群表示的结构时非常有用，尤其是在证明表示的不可约性时。

特征标表是群表示理论中的另一个核心工具，它提供了一种通过群的特征标来分析表示的方法。特征标是群表示中一个重要的概念，它是群元素作用在向量空间上的线性变换的迹数。特征标表列出了群中每个共轭类的元素对应的特征标，因此它能够反映群的内部结构。通过检查特征标表，我们可以确定群表示的不可约性。如果一个表示的特征标表中的特征标都是整数，那么这个表示是不可约的。这是因为不可约表示的特征标必须满足特定的正交关系，这在特征标表中直接体现为列的正交性。通过计算不同表示的特征标的内积，我们可以区分可约表示和不可约表示。

综上所述，舒尔引理和特征标表是群表示理论中的两个重要工具，它们相辅相成。舒尔引理提供了不可约表示内部性质的深刻见解，而特征标表则提供了一种判断表示不可约性的有效方法。《群论：舒尔引理与群的线性表示关键》这本书深入讨论了这些概念，提供了丰富的例子和应用，帮助读者更好地理解和应用这些理论工具。

参考资源链接：[群论：舒尔引理与群的线性表示关键](https://wenku.csdn.net/doc/3mrfb4j4rg?spm=1055.2569.3001.10343)