6轴IMU的卡尔曼滤波

### 6轴IMU卡尔曼滤波数据融合实现方法

对于6轴IMU（即包含三轴加速度计和三轴陀螺仪的惯性测量单元），应用卡尔曼滤波进行数据处理的主要目的是为了减少噪声并提供更稳定的状态估计。具体来说，可以通过以下方式来构建卡尔曼滤波器：

#### 状态向量定义
状态向量通常由角度信息组成，也可以包括角速度偏差等参数。例如，可以选择如下形式的状态向量：
\[ \mathbf{x} = [\phi, \theta, \psi]^T \]
其中 \( \phi \), \( \theta \)，\( \psi \) 分别表示横滚角、俯仰角和平移角。

#### 测量模型
由于只有加速度计和陀螺仪的数据可用，因此观测矩阵主要依赖这两个传感器提供的信息。加速度计可以直接给出重力方向上的分量，而陀螺仪则提供了旋转速率的信息。假设没有外部干扰，则有：
\[ z_k=\left[\begin{array}{c}
a_x \\
a_y\\
\omega _x\\
\omega _y\\
\omega_z
\end{array}\right]=H\cdot x_k+v_k \]

这里 \(z_k\) 是第 k 步时刻的实际测量值；\(v_k\) 表示测量噪声；\( H \) 是观测矩阵[^1]。

#### 预测阶段
利用上一时刻的状态预测当前时刻的状态。考虑到离散时间下的运动学关系，可以写出如下的状态转移方程：
\[ \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}=F(\Delta t)\cdot {\mathbf{x}_{k-1}}+\Gamma (\Delta t)\cdot u_k+w_k \]
这里的 \( F(\Delta t) \) 和 \( Γ(Δt) \) 分别代表系统的动态特性函数及其对应的输入影响系数矩阵；\(u_k\) 则是来自陀螺仪的速度增量作为过程激励项；\( w_k \) 描述的是过程中的随机扰动[^2]。

#### 更新阶段
当接收到新的测量数据时，就需要调整之前所做的预测。这一步骤涉及到计算残差以及相应的增益因子 K ，最终完成对状态变量的新一轮修正。
\[ e_k=z_k-H\cdot \hat{{\mathbf{x}}}_{k|k-1}\\
K_k=P_{pred}\cdot H^T(H\cdot P_{pred}\cdot H^T+R)^{-1}\\
\mathbf{x}_k=\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}+K_k\cdot e_k \]
此处 \(P_{pred}\) 表达了先验状态下不确定性的程度；\( R \) 反映了测量误差水平；\(e_k\) 称作新息或创新序列；\( K_k \) 就是我们熟知的Kalman Gain卡门增益[^3]。

function [angle_estimated,P] = kalman_filter_6dof(acc_data,gryo_data,delta_t,Q,R,x_initial,P_initial)
% 初始化部分省略...
for i=1:length(time)-1,
    % 预测步
    A = expm([zeros(3);eye(3)]*delta_t);
    B = eye(size(A));
    
    X_pred(:,i)=A*x_initial;
    P_pred(:,:,i)=A*P_initial*A'+Q;

    % 更新步
    C=[ones(3,1), zeros(3)];
    Z(i,:)=[acc_data(i,:),gryo_data(i,:)];
    Y(i,:)=Z(i,:)'-(C*X_pred(:,i));

    S(:,:,i)=(C*P_pred(:,:,i)*C')+R;
    K(:,:,i)=P_pred(:,:,i)*(C')/S(:,:,i);

    angle_estimated(:,i)=X_pred(:,i)+K(:,:,i)*Y(i,:);
    P(:,:,i)=(eye(length(x_initial))-K(:,:,i)*C)*P_pred(:,:,i);
    
    % 准备下一次迭代
    x_initial=angle_estimated(:,i);
    P_initial=P(:,:,i);
end