n种资产组合的方差公式推导

资产组合的方差公式可以通过如下推导得到：

设有n种资产A1, A2, ..., An，并分别记为X1, X2, ..., Xn，它们的权重分别为w1, w2, ..., wn。资产的收益率则为r1, r2, ..., rn，其中E(Xi)为预期收益率，σi为标准差。

将资产组合的收益表示为一个线性加权和：R = w1X1 + w2X2 + ... + wnXn

其中，资产组合的方差为Var(R) = E[(R - E(R))^2]

根据线性运算的性质，我们可以展开方差公式，得到：

Var(R) = E[(w1X1 + w2X2 + ... + wnXn - E(w1X1 + w2X2 + ... + wnXn))^2]

根据方差的定义，展开后化简可得：

Var(R) = E[(w1(X1 - E(X1)) + w2(X2 - E(X2)) + ... + wn(Xn - E(Xn)))^2]

再次应用线性运算性质，可以将方差展开为每个资产的方差、协方差及其权重的乘积的和：

Var(R) = w1^2 * Var(X1) + w2^2 * Var(X2) + ... + wn^2 * Var(Xn) + 2 * w1*w2 * Cov(X1, X2) + 2 * w1*w3 * Cov(X1, X3) + ... + 2 * w(n-1)*wn * Cov(X(n-1), Xn)

其中，Var(Xi)表示资产i的方差，Cov(Xi, Xj)表示资产i和资产j的协方差。

由此可见，资产组合的方差公式包含了每个资产的方差以及两两资产之间的协方差。这个公式的推导过程基于资产收益的线性组合和方差的定义，是建立在一些假设前提之上的，例如资产收益率之间的协方差是已知的。实际应用中，可以通过对资产历史数据的统计分析来估计方差和协方差的值，从而计算资产组合的方差，进而衡量和优化投资组合的风险。