三次bezier曲线导数

### 计算三次Bezier曲线的导数

对于三次Bezier曲线，其参数方程可以表示为：

\[ B(t) = (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3 \]

其中 \( P_i \) 表示控制点，\( i=0,1,2,3 \)，而 \( t \in [0,1] \)[^2]。

为了求解该曲线的一阶导数，即速度向量，在上述表达式基础上对时间变量 \( t \) 进行微分得到一阶导数公式:

\[ B'(t)=\frac{d}{dt}B(t)=-3(1-t)^2P_0+3[(1-t)^2-2(1-t)t]P_1+[6(1-t)t-3t^2]P_2+3t^2P_3 \]
简化后的形式为：
\[ B'(t) = 3[-(1-t)^2(P_0-P_1)+2(1-t)t(P_1-P_2)-t^2(P_2-P_3)] \].

此公式的几何意义在于描述了任意时刻 \( t \) 处切线的方向和长度。具体来说，当 \( t=0 \) 或者 \( t=1 \) 时，分别对应着起点处以及终点处的切线方向；而在中间位置，则反映了局部变化趋势。值得注意的是，由于系数的存在，实际绘制过程中通常会将结果除以3来获得更直观的速度矢量[^3]。

import numpy as np

def bezier_derivative(t, points):
    """
    Calculate the first derivative of a cubic Bezier curve at parameter value t.
    
    Args:
        t : float between 0 and 1 indicating where along the curve to evaluate
        points: list or array-like object containing four control point coordinates
    
    Returns:
        A tuple representing the direction vector at that position on the curve.
    """
    p0, p1, p2, p3 = map(np.array, points)

    dt = (-3*(1-t)**2 * (p0-p1)) + \
         (+6*t*(1-t)      *(p1-p2)) -\
         (+3*t**2          *(p2-p3))
         
    return tuple(dt / 3.)  # Normalize by dividing through with factor '3'