使用一个矩阵描述一个实体在三维坐标系中的平移与旋转

在一个三维坐标系中，要描述一个实体的平移和旋转，通常会用到4x4的矩阵，称为变换矩阵或四元数矩阵。这个矩阵包含位置信息和平移向量（在前3行的第一列），以及旋转的信息。

**1. 平移矩阵（Translation Matrix）**:
如果你只关心平移，矩阵将如下所示：

| 1 0 0 tx |
| 0 1 0 ty |
| 0 0 1 tz |
| 0 0 0  1 |

其中 `(tx, ty, tz)` 表示在 x、y 和 z 轴上的位移。

**2. 旋转矩阵（Rotation Matrix）**:
对于旋转，可以有几种形式，如绕 x、y 或 z 轴的旋转：
- 绕 x 轴：

| 1  0          0       0 |
| 0 cos(θ) -sin(θ)  0 |
| 0 sin(θ)  cos(θ)  0 |
| 0  0          0       1 |

- 绕 y 轴：

| cos(θ)  0 sin(θ)  0 |
| 0       1  0      0 |
|-sin(θ)   0 cos(θ)  0 |
| 0       0  0      1 |

- 绕 z 轴：

| cos(θ) -sin(θ)  0       0 |
| sin(θ)  cos(θ)  0       0 |
| 0        0      1       0 |
| 0        0      0       1 |

其中 `θ` 是旋转角度。

**组合变换**:
为了同时表示平移和旋转，你需要将这两部分矩阵相乘。首先做旋转，再做平移，即 `M = T * R`，其中 `T` 是平移矩阵，`R` 是旋转矩阵。