假设对函数fx在步长为h的等距点上造表,且f

对于给定的函数f(x)，当在步长为h的等距点上造表时，可以通过以下步骤进行：

首先，确定需要制表的区间。这可能是一个特定的区间，也可以是整个定义域。根据问题的要求确定区间。

然后，确定等距点的数量。等距点的数量决定了表格的密度和平滑程度。如果需要更准确的表格，应选择更多的等距点。然而，随着等距点数量的增加，表格的长度也会增加。

接下来，计算每个等距点上的函数值。这可以通过将等距点带入函数来完成。记为f(x1), f(x2), f(x3)等，其中x1、x2、x3是等距点的横坐标。

将计算得到的函数值列表制成表格。表格的纵坐标是函数值，横坐标是等距点对应的x值。

最后，根据需要对表格进行进一步处理。可以对表格进行插值、求导等操作，以得到更多信息。

总结起来，对于函数f(x)在步长为h的等距点上造表，需要确定区间、等距点数量，并计算每个等距点上的函数值，最后制作成表格。这样可以方便地获取函数在特定区间内的数值信息。

相关问题

编写MATLAB程序, 利用函数生成区间上的31个等距点，利用Lagrange插值法生成插值函数，观察结果。

在MATLAB中，你可以通过以下几个步骤编写一个程序来实现这个目标：

1. **创建数据点**:
首先，你需要确定一个区间，比如`[a, b]`。然后，使用`linspace`函数生成31个等间距的点。例如，如果你选择的区间是`[-5, 5]`，你可以这样做：

   x = linspace(a, b, 31);

2. **定义函数值**:
假设你有一个关于x的函数f(x)，你需要在这个区间上计算出对应的y值。假设f(x) = x^2，你可以创建一个向量`y`，存储每个x对应的结果：

   y = x.^2; % 示例：平方函数

3. **构建拉格朗日插值多项式**:
使用`lager`函数从数据点(x, y)创建一个拉格朗日插值函数。这将返回一个匿名函数，可以对任意输入值提供插值结果：

   interpFcn = @(u) lager(x, y, u);

4. **测试插值函数**:
现在你可以使用这个插值函数`interpFcn`来检查它是否准确地在区间上生成了预期的值。比如，打印插值后的0和6的值：

   fprintf('Interpolated value at x=0: %.4f\n', interpFcn(0));
   fprintf('Interpolated value at x=6: %.4f\n', interpFcn(6));

5. **可视化插值结果**:
最后，你可以用`plot`函数绘制原始数据点和插值函数，查看插值效果：

   plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 8); % 绘制数据点
   hold on;
   plot(x, interpFcn(x), '-');       % 绘制插值线
   legend('Data Points', 'Lagrange Interpolation');
   xlabel('x');
   ylabel('f(x)');
   title('Lagrange Interpolation');
   hold off;

完成以上步骤后，你就可以观察到拉格朗日插值法如何近似原始函数。

本题考虑对于定义在[−1,1]上的一个光滑函数𝑓(𝑥)的三次样条插值的使用。下面所说的误差 都是指绝对误差。 (a) （10 分）仿照课本推导出关于额外给定边界点处（即−1和1）三次样条插值多项式的一 次导数值时其在各插值点上的二次导数值应该满足的线性方程组。请给出推导过程。 (b) （10 分）令三次样条插值多项式在−1和1处的导数为0，基于上一问中的结果使用𝑛 = 2 4个子区间插值一个定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(4𝑥 2 ) + 𝑠𝑖𝑛2 (4𝑥)并使用 semilogy 图通过在2000个等距点上取真实值画出你构造的三次样条插值的逐点误差。 (c) （15 分）使用不同的𝑛，令𝑛 = 2 4 , 2 5 , ⋯ , 2 10重复上一问，取关于不同𝑛的2000个等距点 上的误差的最大值，用 loglog 图描述插值区间上最大误差值随𝑛变化的情况（横轴是𝑛）。 用比较新的matlab语言来写，我只要matlab程序

(a) 求解三次样条插值多项式的一次导数值时其在各插值点上的二次导数值应该满足的线性方程组，可以仿照课本中的推导方法，得到以下线性方程组：

$$
\begin{cases}
h_1M_0 + 2(h_1+h_2)M_1 + h_2M_2 = 3\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h_1^2} - 3\frac{f(x_0)-f_{-1}}{h_0^2} \\
h_2M_1 + 2(h_2+h_3)M_2 + h_3M_3 = 3\frac{f(x_3)-f(x_2)}{h_3^2} - 3\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h_2^2}
\end{cases}
$$

其中，$M_0$ 和 $M_3$ 分别为边界点 $x_{-1}$ 和 $x_4$ 处的二次导数值，$h_i = x_{i+1} - x_i$，$f_{-1}$ 和 $f_4$ 分别为边界点处的函数值。

(b) 根据题目中的要求，在边界点 $x_{-1}$ 和 $x_4$ 处，三次样条插值多项式的一阶导数值为0。因此，我们可以先求出满足这个条件的 $M_0$ 和 $M_3$ 的值，然后在每个子区间上分别插值，得到整个区间上的三次样条插值多项式。

具体地，我们可以先计算出 $M_0$ 和 $M_3$ 的值：

$$
\begin{cases}
2M_0 + M_1 = \frac{3}{h_1^2}(f(x_1)-f_{-1}) \\
h_2M_1 + 2(h_2+h_3)M_2 + h_3M_3 = 3\frac{f(x_3)-f(x_2)}{h_3^2} - 3\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h_2^2} \\
M_2 + 2M_3 = \frac{3}{h_3^2}(f_4-f(x_3))
\end{cases}
$$

然后，在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，我们可以使用课本中的方法，得到三次样条插值多项式的表达式：

$$
S_i(x) = \frac{M_{i-1}}{6h_i}(x_{i+1}-x)^3 + \frac{M_i}{6h_i}(x-x_i)^3 + \frac{f(x_i)}{h_i}(x_{i+1}-x) + \frac{f(x_{i+1})}{h_i}(x-x_i)
$$

最后，我们可以在2000个等距点上计算出真实值和插值值的差，得到逐点误差，并使用 semilogy 图来表示。具体的 MATLAB 代码如下：

% (b) 插值
n = 2^4; % 子区间数
x = linspace(-1, 1, n+1); % 等距插值点
h = diff(x);
f = sin(4*x.^2) + sin(2*4*x);
f1 = [0 (3./h(2:end)).*(f(3:end)-f(2:end-1))-(3./h(1:end-1)).*(f(2:end-1)-f(1:end-2)) 0]; % 一次导数值
M = zeros(1, n+1);
A = zeros(n-1, n-1);
B = zeros(n-1, 1);
for i = 1:n-1
    A(i, i) = 2*(h(i)+h(i+1));
    if i > 1
        A(i, i-1) = h(i);
    end
    if i < n-1
        A(i, i+1) = h(i+1);
    end
    B(i) = f1(i+1);
end
M(2:end-1) = A\B;
S = zeros(1, 2000);
x_interp = linspace(-1, 1, 2000);
for i = 1:n
    idx = x_interp >= x(i) & x_interp <= x(i+1);
    S(idx) = (M(i)/(6*h(i))*(x_interp(idx)-x(i+1)).^3 + M(i+1)/(6*h(i))*(x(i+1)-x_interp(idx)).^3 + f(i)/h(i)*(x_interp(idx)-x(i+1)) + f(i+1)/h(i)*(x(i+1)-x_interp(idx)));
end
error = abs(S - (sin(4*x_interp.^2) + sin(2*4*x_interp)));
semilogy(x_interp, error);

(c) 接下来，我们可以对不同的 $n$ 值（$n=2^4,2^5,\cdots,2^{10}$）重复上述插值过程，并在2000个等距点上计算出逐点误差的最大值。然后，我们可以使用 loglog 图来描述插值区间上最大误差值随 $n$ 变化的情况。

具体的 MATLAB 代码如下：

% (c) 改变 n 的值，计算最大误差
n_values = 2.^(4:10);
max_errors = zeros(size(n_values));
for k = 1:length(n_values)
    n = n_values(k);
    x = linspace(-1, 1, n+1); % 等距插值点
    h = diff(x);
    f = sin(4*x.^2) + sin(2*4*x);
    f1 = [0 (3./h(2:end)).*(f(3:end)-f(2:end-1))-(3./h(1:end-1)).*(f(2:end-1)-f(1:end-2)) 0]; % 一次导数值
    M = zeros(1, n+1);
    A = zeros(n-1, n-1);
    B = zeros(n-1, 1);
    for i = 1:n-1
        A(i, i) = 2*(h(i)+h(i+1));
        if i > 1
            A(i, i-1) = h(i);
        end
        if i < n-1
            A(i, i+1) = h(i+1);
        end
        B(i) = f1(i+1);
    end
    M(2:end-1) = A\B;
    S = zeros(1, 2000);
    x_interp = linspace(-1, 1, 2000);
    for i = 1:n
        idx = x_interp >= x(i) & x_interp <= x(i+1);
        S(idx) = (M(i)/(6*h(i))*(x_interp(idx)-x(i+1)).^3 + M(i+1)/(6*h(i))*(x(i+1)-x_interp(idx)).^3 + f(i)/h(i)*(x_interp(idx)-x(i+1)) + f(i+1)/h(i)*(x(i+1)-x_interp(idx)));
    end
    error = abs(S - (sin(4*x_interp.^2) + sin(2*4*x_interp)));
    max_errors(k) = max(error);
end
loglog(n_values, max_errors);

运行上述程序可以得到逐点误差和最大误差随 $n$ 变化的图像。