假设对函数fx在步长为h的等距点上造表,且f

对于给定的函数f(x)，当在步长为h的等距点上造表时，可以通过以下步骤进行：

首先，确定需要制表的区间。这可能是一个特定的区间，也可以是整个定义域。根据问题的要求确定区间。

然后，确定等距点的数量。等距点的数量决定了表格的密度和平滑程度。如果需要更准确的表格，应选择更多的等距点。然而，随着等距点数量的增加，表格的长度也会增加。

接下来，计算每个等距点上的函数值。这可以通过将等距点带入函数来完成。记为f(x1), f(x2), f(x3)等，其中x1、x2、x3是等距点的横坐标。

将计算得到的函数值列表制成表格。表格的纵坐标是函数值，横坐标是等距点对应的x值。

最后，根据需要对表格进行进一步处理。可以对表格进行插值、求导等操作，以得到更多信息。

总结起来，对于函数f(x)在步长为h的等距点上造表，需要确定区间、等距点数量，并计算每个等距点上的函数值，最后制作成表格。这样可以方便地获取函数在特定区间内的数值信息。

相关问题

本题考虑对于定义在[−1,1]上的一个光滑函数𝑓(𝑥)的三次样条插值的使用。下面所说的误差 都是指绝对误差。 (a) （10 分）仿照课本推导出关于额外给定边界点处（即−1和1）三次样条插值多项式的一 次导数值时其在各插值点上的二次导数值应该满足的线性方程组。请给出推导过程。 (b) （10 分）令三次样条插值多项式在−1和1处的导数为0，基于上一问中的结果使用𝑛 = 2 4个子区间插值一个定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(4𝑥 2 ) + 𝑠𝑖𝑛2 (4𝑥)并使用 semilogy 图通过在2000个等距点上取真实值画出你构造的三次样条插值的逐点误差。 (c) （15 分）使用不同的𝑛，令𝑛 = 2 4 , 2 5 , ⋯ , 2 10重复上一问，取关于不同𝑛的2000个等距点 上的误差的最大值，用 loglog 图描述插值区间上最大误差值随𝑛变化的情况（横轴是𝑛）。 用比较新的matlab语言来写，我只要matlab程序

(a) 求解三次样条插值多项式的一次导数值时其在各插值点上的二次导数值应该满足的线性方程组，可以仿照课本中的推导方法，得到以下线性方程组：

$$
\begin{cases}
h_1M_0 + 2(h_1+h_2)M_1 + h_2M_2 = 3\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h_1^2} - 3\frac{f(x_0)-f_{-1}}{h_0^2} \\
h_2M_1 + 2(h_2+h_3)M_2 + h_3M_3 = 3\frac{f(x_3)-f(x_2)}{h_3^2} - 3\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h_2^2}
\end{cases}
$$

其中，$M_0$ 和 $M_3$ 分别为边界点 $x_{-1}$ 和 $x_4$ 处的二次导数值，$h_i = x_{i+1} - x_i$，$f_{-1}$ 和 $f_4$ 分别为边界点处的函数值。

(b) 根据题目中的要求，在边界点 $x_{-1}$ 和 $x_4$ 处，三次样条插值多项式的一阶导数值为0。因此，我们可以先求出满足这个条件的 $M_0$ 和 $M_3$ 的值，然后在每个子区间上分别插值，得到整个区间上的三次样条插值多项式。

具体地，我们可以先计算出 $M_0$ 和 $M_3$ 的值：

$$
\begin{cases}
2M_0 + M_1 = \frac{3}{h_1^2}(f(x_1)-f_{-1}) \\
h_2M_1 + 2(h_2+h_3)M_2 + h_3M_3 = 3\frac{f(x_3)-f(x_2)}{h_3^2} - 3\frac{f(x_2)-f(x_1)}{h_2^2} \\
M_2 + 2M_3 = \frac{3}{h_3^2}(f_4-f(x_3))
\end{cases}
$$

然后，在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，我们可以使用课本中的方法，得到三次样条插值多项式的表达式：

$$
S_i(x) = \frac{M_{i-1}}{6h_i}(x_{i+1}-x)^3 + \frac{M_i}{6h_i}(x-x_i)^3 + \frac{f(x_i)}{h_i}(x_{i+1}-x) + \frac{f(x_{i+1})}{h_i}(x-x_i)
$$

最后，我们可以在2000个等距点上计算出真实值和插值值的差，得到逐点误差，并使用 semilogy 图来表示。具体的 MATLAB 代码如下：

% (b) 插值
n = 2^4; % 子区间数
x = linspace(-1, 1, n+1); % 等距插值点
h = diff(x);
f = sin(4*x.^2) + sin(2*4*x);
f1 = [0 (3./h(2:end)).*(f(3:end)-f(2:end-1))-(3./h(1:end-1)).*(f(2:end-1)-f(1:end-2)) 0]; % 一次导数值
M = zeros(1, n+1);
A = zeros(n-1, n-1);
B = zeros(n-1, 1);
for i = 1:n-1
    A(i, i) = 2*(h(i)+h(i+1));
    if i > 1
        A(i, i-1) = h(i);
    end
    if i < n-1
        A(i, i+1) = h(i+1);
    end
    B(i) = f1(i+1);
end
M(2:end-1) = A\B;
S = zeros(1, 2000);
x_interp = linspace(-1, 1, 2000);
for i = 1:n
    idx = x_interp >= x(i) & x_interp <= x(i+1);
    S(idx) = (M(i)/(6*h(i))*(x_interp(idx)-x(i+1)).^3 + M(i+1)/(6*h(i))*(x(i+1)-x_interp(idx)).^3 + f(i)/h(i)*(x_interp(idx)-x(i+1)) + f(i+1)/h(i)*(x(i+1)-x_interp(idx)));
end
error = abs(S - (sin(4*x_interp.^2) + sin(2*4*x_interp)));
semilogy(x_interp, error);

(c) 接下来，我们可以对不同的 $n$ 值（$n=2^4,2^5,\cdots,2^{10}$）重复上述插值过程，并在2000个等距点上计算出逐点误差的最大值。然后，我们可以使用 loglog 图来描述插值区间上最大误差值随 $n$ 变化的情况。

具体的 MATLAB 代码如下：

% (c) 改变 n 的值，计算最大误差
n_values = 2.^(4:10);
max_errors = zeros(size(n_values));
for k = 1:length(n_values)
    n = n_values(k);
    x = linspace(-1, 1, n+1); % 等距插值点
    h = diff(x);
    f = sin(4*x.^2) + sin(2*4*x);
    f1 = [0 (3./h(2:end)).*(f(3:end)-f(2:end-1))-(3./h(1:end-1)).*(f(2:end-1)-f(1:end-2)) 0]; % 一次导数值
    M = zeros(1, n+1);
    A = zeros(n-1, n-1);
    B = zeros(n-1, 1);
    for i = 1:n-1
        A(i, i) = 2*(h(i)+h(i+1));
        if i > 1
            A(i, i-1) = h(i);
        end
        if i < n-1
            A(i, i+1) = h(i+1);
        end
        B(i) = f1(i+1);
    end
    M(2:end-1) = A\B;
    S = zeros(1, 2000);
    x_interp = linspace(-1, 1, 2000);
    for i = 1:n
        idx = x_interp >= x(i) & x_interp <= x(i+1);
        S(idx) = (M(i)/(6*h(i))*(x_interp(idx)-x(i+1)).^3 + M(i+1)/(6*h(i))*(x(i+1)-x_interp(idx)).^3 + f(i)/h(i)*(x_interp(idx)-x(i+1)) + f(i+1)/h(i)*(x(i+1)-x_interp(idx)));
    end
    error = abs(S - (sin(4*x_interp.^2) + sin(2*4*x_interp)));
    max_errors(k) = max(error);
end
loglog(n_values, max_errors);

运行上述程序可以得到逐点误差和最大误差随 $n$ 变化的图像。

利用MATLAB绘制y=2（a^2+h^2-2ah*cosx）^(1/2)的函数图像及其导数图像，其中a、h均为已知值，x的范围为0~360°

首先，为了在MATLAB中绘制这个函数和它的导数图像，你需要先定义 `a` 和 `h` 的具体值，以及 `x` 的范围。假设 `a = 2` 和 `h = 3`，下面是步骤：

1. 导入所需的库：

syms a h x cos(x) % 定义符号变量

2. 定义函数 `y`：

y = sqrt(a^2 + h^2 - 2*a*h*cos(x));

3. 创建 `x` 范围：

x_data = linspace(0, 360, 1000); % 创建1000个等距点从0到360度

4. 计算函数值和导数：

% 函数值
y_values = double(subs(y, [a h], [2 3])); % 将a和h的值代入y

% 导数 dy/dx
dy_dx = diff(y);
dy_dx_values = double(subs(dy_dx, [a h], [2 3])); % 同样代入a和h的值

5. 绘制函数图像：

plot(x_data, y_values)
xlabel('角度 (°)')
ylabel('y')
title(['y = √(' num2str(a)^2 + num2str(h)^2 - 2*num2str(a)*num2str(h)*cos(x)) ')'])
grid on

6. 绘制导数图像（注意：因为`cos(x)`的周期性，可能会有多个零点，所以这里可能需要根据实际情况调整导数图像的颜色和样式）：

figure
plot(x_data, dy_dx_values)
xlabel('角度 (°)')
ylabel('dy/dx')
title(['导数 dy/dx = d(√(' num2str(a)^2 + num2str(h)^2 - 2*num2str(a)*num2str(h)*cos(x))) '/dx]')
hold off % 保持当前图像

完成以上步骤后，你应该可以看到函数 `y` 和其导数 `dy/dx` 在指定范围内的图像。