二叉树的基本运算pta

二叉树是一种常见的数据结构，其每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。基本的二叉树运算是指对这种结构进行的一些基本操作：

1. **插入**（Insertion）：将新的元素添加到二叉树中，通常按照某种规则保持树的有序性，如搜索二叉树（BST），新节点会被插入到适当的空位，保证左子树的所有节点值都小于当前节点，右子树所有大于当前节点。

2. **查找**（Search）：给定一个目标值，从根节点开始遍历树，如果找到等于目标的节点则返回，否则返回空或null。

3. **删除**（Deletion）：移除指定的节点，这比插入更复杂，因为需要考虑子节点的情况。有四种情况：
- 节点没有子节点：直接删除。
- 只有一个子节点：替换当前节点为该子节点。
- 有两个子节点：找到子树中最大（或最小）的值替换当前节点，并删除这个最大（或最小）节点。

4. **前序遍历**（Preorder Traversal）、**中序遍历**（Inorder Traversal）和**后序遍历**（Postorder Traversal）：按顺序访问每一个节点，用于序列化二叉树或打印节点值。

5. **高度查找**（Height Search）：找出二叉树的最大深度或最小深度。

6. **平衡调整**（Balancing）：对于自平衡二叉树（如AVL树、红黑树等）来说，当树失去平衡时，会自动通过旋转操作使其恢复平衡。

相关问题

题目1. 简单计算器 【等级】D、C(完成命令5) 【问题描述】 根据输入一个数学表达式，计算结果。运算符包括：+，-，*，/，（） 程序不仅能计算表达式结果，针对各种不合法输入及计算结果能做相应异常判断。 【基本要求】 命令1：设计计算机器的图形界面。 命令2：输入数学表达式，若是不合法数学表达式，提示用户错误原因，并要求重输。注：如表达式出现英文字符、不合法的符号、括号不匹配、非法运算符号）。输出转换后缀表达式内容 及其计算结果。 命令3：输入带负数的数学表达式，输出转换后缀表达式内容及其计算结果。 命令4：输入有除0的数学表达式，提示除0错误。 命令5(可选)：将输入的表达式转化为语法树展示出来，并通过语法树来计算表达式。 【说明】 1. *5-3，类似这样表达式一样做非法表达式处理，及运算符位置不对，一样做非法表达式。非法表达式处理情况越多，得分越高。 2. 需用栈、队列或者二叉树结构实现。（栈与队列只能使用C++ STL中的stack与queue） 3. 数据包括：整数、小数。 4. 必须包含对非法表达式与合法表达式的批量测试。类似PTA中样例输入的测试。 【考核要点】 1.是否熟悉表达式求值的算法过程；2.界面是否良好；3.能否进行批量测试，且测试样例覆盖面情况是否多样；4.是否使用了语法树来进行求解.

感谢你的提问，我可以给出以下答案：

对于这个问题，我可以回答一些基本的思路和算法。首先，对于一个数学表达式，需要将其转化为后缀表达式，然后通过后缀表达式求值得到结果。转化为后缀表达式可以使用栈来实现，具体流程为：

1. 从左到右扫描中缀表达式。
2. 如果是数字，直接输出。
3. 如果是运算符，判断其与栈顶运算符的优先级，如果栈顶运算符优先级高于或等于该运算符，则弹出栈顶运算符并输出，再比较新的栈顶运算符，直到该运算符的优先级大于栈顶运算符的优先级。
4. 如果是左括号“(”，则直接压入栈。
5. 如果是右括号“)”，则依次弹出栈顶运算符并输出，直到遇到左括号为止。
6. 如果扫描的中缀表达式已经处理完毕，而栈中还有运算符，那么依次弹出栈顶运算符并输出。

得到后缀表达式后，使用栈来计算后缀表达式的值，具体流程为：

1. 从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈。
2. 遇到运算符时，弹出栈顶两个元素，进行运算，并将结果压入堆栈。
3. 重复上述过程，直到表达式最右端。
4. 最后，堆栈中仅有一个元素，即为表达式的值。

对于题目中的异常情况，需要进行相应的判断和处理，如英文字符、不合法的符号、括号不匹配、非法运算符号、除0错误等。同时，需要进行批量测试，覆盖尽可能多的情况，确保程序的稳定性和正确性。

如果需要展示语法树，则需要先构建语法树，然后通过遍历语法树来计算表达式的值。

燕山大学数据结构期末pta

### 关于燕山大学数据结构课程期末PTA题目练习

针对燕山大学数据结构课程的期末准备，学生可以通过多种途径获取到适合的练习资源。通常情况下，学校官方推荐的在线编程实践平台（如PTA）提供了丰富的练习题库，这些题目涵盖了课程中的核心概念和技术要点[^3]。

为了更好地利用PTA平台进行复习和训练：

#### 使用PTA平台的有效策略
- **熟悉考试重点**：根据以往的经验，教师会在课堂上强调重要的章节和知识点，确保理解并掌握这部分内容。
- **定期练习**：保持规律性的编码习惯有助于巩固记忆，并能及时发现薄弱环节加以改进。
- **参与模拟测试**：许多高校的数据结构课程会提供往届试题作为参考材料，通过解答这些问题可以检验自己的学习效果。

#### 推荐的具体练习方向
考虑到实际应用场景的需求，建议重点关注如下几个方面：
- **基础算法与复杂度分析**：熟练掌握常见排序、查找算法及其时间空间复杂度计算方法。
- **线性表操作**：链表的各种基本运算实现，包括但不限于插入删除节点等。
- **树形结构处理**：二叉树遍历方式的理解及应用；平衡二叉搜索树的概念介绍。
- **图论基础知识**：最短路径求解问题（Dijkstra算法的时间复杂度为O(m log n)，适用于大规模网络优化场景[^2]）、最小生成树构建等问题都是高频考点之一。

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    """基于堆实现的 Dijkstra 单源最短路径算法"""
    pq = [(0, start)]  # 初始化优先队列
    dist = {start: 0}  # 距离字典
    
    while pq:
        current_dist, u = heapq.heappop(pq)

        if u not in graph or any(v == float('inf') for v in graph[u].values()):
            continue
        
        for neighbor, weight in graph[u].items():
            distance = current_dist + weight
            
            if neighbor not in dist or distance < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = distance
                heapq.heappush(pq, (distance, neighbor))
                
    return dist