设f(x)="1/2*x**T*Hx+b**T*x,其中H=[4,2;2,4],b=[3,3] 以x0=(0,0)**T为初始点,d0=[1,0]**T,d1=[-1,2]**T 以d0和d1为搜索方向,用精确线搜索求f的极小点
时间: 2024-06-17 21:07:34 浏览: 47
根据给出的函数和初始点以及搜索方向,我们可以使用精确线搜索来寻找函数的极小点。精确线搜索是一种常用的优化算法,它通过不断缩小可行域,找到函数的极小值点。
首先,我们需要计算出在当前搜索方向下,函数f在初始点x0处的梯度g和海森矩阵H。其中,g是一个列向量,H是一个2*2的矩阵。
计算梯度g:g = Hx + b = [4, 2; 2, 4][0; 0] + [3, 3] = [3, 3]
计算海森矩阵H:H = [4, 2; 2, 4]
然后,我们可以使用精确线搜索来寻找函数f在当前搜索方向下的极小点。假设当前搜索方向为d0=[1,0]T,则极小点x1可以通过以下公式计算得出:
x1 = x0 + alpha * d0
其中alpha是步长(也就是在搜索方向上走的距离),可以通过以下公式求得:
alpha = -gT * d0 / (d0T * H * d0)
将x0和d0带入上面的公式,可以求得alpha= -3/4。因此,
x1 = x0 + (-3/4) * d0 = [0, 0] + [-3/4, 0] = [-3/4, 0]
接下来,我们需要再次计算在新的搜索方向d1=[-1,2]T下,函数f在x1处的梯度g和海森矩阵H。计算方法与上面类似。
计算梯度g:g = Hx + b = [4, 2; 2, 4][-3/4; 0] + [3, 3] = [-3/2, 3]
计算海森矩阵H:H = [4, 2; 2, 4]
然后,我们可以使用精确线搜索来寻找函数f在当前搜索方向下的极小点。假设当前搜索方向为d1=[-1,2]T,则极小点x2可以通过以下公式计算得出:
x2 = x1 + beta * d1
其中beta是步长,可以通过以下公式求得:
beta = -gT * d1 / (d1T * H * d1)
将x1和d1带入上面的公式,可以求得beta=5/6。因此,
x2 = x1 + (5/6) * d1 = [-1), 5/6*2] = [-7/8, 5/4]
至此,我们求得了函数f在给定初始点和搜索方向下的极小点。