已知阿基米德螺线弧长及弧长端点极坐标求另一端点的极坐标代码

阿基米德螺线是一种特殊的曲线，其公式可以表示为 \( r = a\theta \)，其中 \( r \) 是从原点到点的距离，\( \theta \) 是角度，而 \( a \) 是常数。如果我们已知一段螺线的起点 \( (r_1, \theta_1) \) 和对应的弧长 \( L \)，我们可以利用积分计算出弧长对应的终点 \( (r_2, \theta_2) \)。

在极坐标下，弧长的计算公式是这样的：

\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{a^2 + (r(\theta))^2} \, d\theta \]

解这个积分得到的是 \( \theta_2 \)，然后再代入原始方程 \( r = a\theta \) 计算 \( r_2 \)。

这是一个数值积分的问题，通常需要借助计算机编程语言如Python的Scipy库来进行。以下是简单的Python示例代码：

from scipy.integrate import quad

# 定义螺线函数和角范围
def archimedean_spiral_radius(theta):
    return a * theta

# 给定起始极坐标、弧长和常数a
a = ...  # 螺线的常数系数
theta1 = ...  # 起始角度
L = ...   # 已知弧长

# 使用quad函数计算弧长对应的结束角度
theta2, error = quad(lambda t: archimedean_spiral_radius(t), theta1, None, args=(a,), limit=100)

# 根据结束角度计算结束极坐标
r2 = a * theta2

# 输出结果
end_point_polar = (r2, theta2)
print(f"终点极坐标是 ({end_point_polar[0]:.2f}, {end_point_polar[1]:.2f})")