欧几里得算法是什么？

欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种古老的数学算法，用于求两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）。它的基本思想是：对于任意两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于b和a除以b的余数c的最大公约数。不断将b替换为c，直到余数为零，此时的除数就是原两数的最大公约数。

如果用伪代码表示，可以写成这样的过程：

function gcd(a, b):
   if b == 0:
       return a
   else:
       return gcd(b, a % b)

欧几里得算法因其高效性和简洁性而广泛应用于计算最大公约数以及后续涉及到比例、分数化简等问题中。

相关问题

什么是扩展的欧几里得算法

扩展的欧几里得算法又称为扩展欧几里得算法或裴蜀定理，是求解两个整数的最大公约数（GCD）以及一组整数的线性组合（Bézout系数）的算法。它是欧几里得算法的扩展，可以用于解决一些关于模运算的方程，例如求解同余方程、模反元素等。

该算法的基本思想是通过递归实现辗转相除法，并在递归过程中计算出一组整数的线性组合。具体地，假设要求解两个整数a和b的最大公约数，扩展欧几里得算法的递归过程如下：

1. 若b等于0，则a为最大公约数，此时Bézout系数为(1, 0)。
2. 否则，计算出a除以b的商q和余数r，即a = bq + r，然后递归调用算法求解b和r的最大公约数，并得到它们的Bézout系数(s, t)。根据带余除法可知，a和b的任意线性组合都可以表示为r和b的线性组合，即a = r + bq。因此，可以通过以下公式计算a和b的Bézout系数(x, y)：

x = t
y = s - qt

经过若干次递归调用，最终可以求出a和b的最大公约数以及一组Bézout系数。扩展欧几里得算法的时间复杂度为O(log min(a,b))，空间复杂度为O(log min(a,b))。

设计程序实现欧几里得算法：设?=1859，?=1573，求 s 和 t， 使得?? + ?? = (?, ?)

欧几里得算法，也称辗转相除法，是求两个正整数的最大公约数的算法。根据欧几里得算法，我们可以得到两个数的最大公约数，以及可以用最大公约数来表示这两个数的线性组合。对于给定的两个数a和b，欧几里得算法的步骤如下：

1. 如果b等于0，则最大公约数为a，此时s=1，t=0。
2. 否则，计算a除以b的商q和余数r，即a=bq+r。
3. 递归地计算b和r的最大公约数，得到gcd和s1、t1。
4. 最大公约数gcd即为a和b的最大公约数，而s和t可以通过以下公式计算得到：s=t1，t=s1-q*t1。

根据题目所给的数据，我们可以按照上述步骤来计算s和t：

1. 1573不等于0，计算1859除以1573的商q=1和余数r=286。
2. 递归地计算1573和286的最大公约数，得到gcd=1，s1=1，t1=-1。
3. 根据公式计算得到s=-1，t=2。
4. 因此，可以得到-1*1859+2*1573=(1,0)。