python 爱因斯坦求和约定

使用 NumPy 实现爱因斯坦求和约定
在 Python 中，通过 numpy.einsum 函数可以方便地应用爱因斯坦求和约定来执行复杂的张量运算。此函数接受字符串参数作为输入，该字符串描述了要执行的操作。
基本语法
einsum 的基本调用形式如下：
np.einsum(subscripts, *operands)
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其中 subscripts 是一个表示操作的子脚本字符串，而 *operands 则是要参与计算的一个或多个数组[^1]。
示例：矩阵转置
对于简单的矩阵转置来说，如果有一个形状为 (m,n) 的矩阵 A，则可以通过下面的方法得到其转置 AT:
import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4)

AT = np.einsum('ij->ji', A)
print(AT.shape) # 输出应为 (4, 3)
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示例：两个向量内积
给定两个相同长度的一维向量 u 和 v ，它们之间标准意义上的点积可以用 einsum 表达式 'i,i' 来完成：
u = np.array([1., 2., 3.])
v = np.array([-1., 0., 1.])

dot_product = np.einsum('i,i', u, v)
print(dot_product) # 应输出 -1.*1.+0.*2.+1.*3.
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示例：矩阵-向量乘法
当涉及到矩阵 M 和列向量 b 进行常规左乘时，即 Mb , 可以利用下述方式表达：
M = np.arange(9).reshape((3, 3))
b = np.array([1., 2., 3.])

result_vector = np.einsum('ij,j', M, b)
print(result_vector)
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以上例子展示了如何使用 numpy.einsum 执行不同类型的张量运算，这不仅限于上述几种情况；实际上它可以处理更复杂的情形，比如批量矩阵相乘、高阶张量收缩等。