请写出位置式PID公式和增量式PID公式

位置式PID (Proportional-Integral-Derivative) 控制算法的基本形式是针对系统当前的位置误差来进行控制调整。其公式通常包括三个部分：

1. **比例控制** (P): 直接根据当前位置与设定值的差值进行控制，表达式为：

   u(t) = Kp * e(t)

其中 \(u(t)\) 是控制器输出，\(Kp\) 是比例增益，\(e(t)\) 是误差信号。

2. **积分控制** (I): 考虑的是累计误差，防止系统趋向零点时漂移，公式为：

   I(t) = I(t-1) + Ki * e(t)
   u(t) = u(t-1) + Ki * e(t)

\(Ki\) 是积分增益，\(I(t-1)\) 表示上一时刻的积分值。

3. **微分控制** (D): 反映了系统的动态响应速度，用于减小超调和快速响应，公式为：

   D(t) = KD * \frac{de}{dt}
   u(t) = u(t-1) + Ki * e(t) + KD * \frac{e(t) - e(t-1)}{\Delta t}

\(KD\) 是微分增益，\(\Delta t\) 是采样时间间隔。

增量式PID (Derivative-Free PID) 则是在不需要实时计算导数的情况下简化的一种形式，它通常通过历史数据近似当前的导数。例如，可以使用滑动窗口平均法代替导数项。这种形式避免了计算导数带来的噪声和复杂性。