机器人四元数法正运动学

### 机器人四元数正运动学计算

#### 四元数简介
四元数是一种扩展复数的方法，在三维空间中用于表示旋转。相比于欧拉角，四元数不会遇到万向锁问题，并且更易于插值和组合多个旋转操作[^2]。

#### 姿态描述中的应用
对于机器人的姿态描述而言，四元数提供了一种紧凑而有效的表达方式。一个单位四元数 \( q = w + xi + yj + zk \)，其中 \(w\) 是实部，\(x, y, z\) 组成虚部矢量部分。当用来表示旋转时，该形式能够唯一确定刚体的姿态变化[^1]。

#### 正运动学中的角色定位
在正运动学分析里，给定关节变量（如角度），目标是求得末端执行器相对于基座的位置与方向。利用四元数来处理这种变换具有显著优势：

- **平滑过渡**：由于其内在特性，使得路径规划更加流畅自然；
- **数值稳定性好**：避免了因三角函数带来的潜在误差累积问题；

#### 实际案例展示
考虑一个简单的两连杆平面机械臂为例说明如何基于四元数完成正运动学解析:

设初始状态下的第一个链接指向+x轴方向，则可定义起始位置对应的零位姿四元数为 \(q_0=(1,0,0,0)\) 。随着各关节转动一定角度θ₁、θ₂后形成新的方位，此时可通过构建相应的局部坐标系并依次相乘获得最终的整体朝向信息\[q_f=q_n...q_2*q_1*q_0\][^3]

// C++代码片段示意
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;

Quaterniond computeFinalOrientation(double theta1,double theta2){
    Quaterniond q0(1.,0.,0.,0.);
    // 构造每个环节产生的相对转向增量
    AngleAxisd rotation1(theta1,Rotator3d::UnitX());
    AngleAxisd rotation2(theta2,Rotator3d::UnitZ());

    // 应用这些旋转变换到原始姿态上
    Quaterniond finalPose = (rotation2*rotation1).toRotationMatrix()*q0;
    
    return finalPose.normalized();
}

上述例子展示了怎样借助于库函数轻松实现多级联接结构下端点坐标的精确预测过程[^4]。