二维正交矩阵只能是householder矩阵或者Givens矩阵

二维正交矩阵是一种特殊的单位矩阵，其行向量和列向量都是互相垂直的，并且长度为1。这类矩阵在数学和线性代数中有重要应用，特别是在降维、特征值分解以及正交变换中。Householder矩阵和Givens矩阵是两种常见的二维正交矩阵形式：

1. Householder矩阵：这种矩阵是由一个反射变换产生的，它通过将一个非零向量映射到其负向来创建，形式上表现为\( I - 2uu^T \)，其中\( u \)是一个单位向量，\( I \)是单位矩阵，\( uu^T \)是向量\( u \)与其自身的点积。

2. Givens矩阵：也称为旋转矩阵，它仅改变两个坐标轴的方向而不改变其他坐标轴。Givens矩阵由两个参数控制，通常用于对角化过程中的特定元素替换。如果只涉及到两个元素的替换，Givens矩阵可以写作：
\[
G_{ij} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & ... & 0 \\
0 & c & s & 0 \\
... & ... & ... & ... \\
0 & -s & c & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
其中\( i \neq j \)，\( c = \cos(\theta) \)，\( s = \sin(\theta) \)，并仅改变了第\(i\)行和第\(j\)行。