使用PSO算法求解Rastrigrin函数

粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟群或鱼群觅食行为的搜索算法，常用于寻找复杂函数的全局最优解。Rastrigin函数是一个经典的多维测试函数，它在优化领域被广泛用于评估和测试优化算法。

要使用PSO求解Rastrigrin函数，你需要遵循以下步骤：

1. **定义Rastrigrin函数**：
Rastrigin函数的形式为：
\( f(x) = 10n + \sum_{i=1}^{n}(x_i^2 - 10\cos(2\pi x_i)) \)
其中，\( n \) 是维度数，\( x_i \) 是第i个维度的变量值。

2. **初始化粒子群体**：
创建一组随机位置（粒子的位置）和速度（粒子移动的方向），每个粒子都有其个人最佳位置（pBest）和全局最佳位置（gBest）。

3. **计算适应度值**：
对于每个粒子，计算其当前位置对应的Rastrigrin函数值，更新pBest和gBest。

4. **粒子更新**：
- **速度更新**：依据当前速度、个人历史最佳位置以及全局历史最佳位置，使用一定的权重（如c1, c2）和学习因子（w）更新粒子的速度。
- **位置更新**：基于新的速度，更新粒子的位置。

5. **边界处理**：
确保粒子不会超出给定的搜索空间范围。

6. **迭代过程**：
重复步骤3-5，直到达到预设的迭代次数，或者pBests不再改变，认为找到了局部最优。

7. **输出结果**：
最终的全局最佳位置即为Rastrigrin函数的近似最小值。

这是一个基本的框架，下面是简单的Matlab代码实现：

function [xbest, fbest] = rastrigrinPSO(nParticles, maxIterations, dim, lb, ub)
    % 初始化参数
    swarmSize = nParticles;
    inertiaWeight = 0.8;
    cognitiveConst = 2;
    socialConst = 2;
    lb = lb(:); ub = ub(:);
    
    % 初始化粒子
    particles = rand(swarmSize, dim, 'single') * (ub - lb) + lb;
    velocities = zeros(swarmSize, dim, 'single');
    personalBests = Inf * ones(swarmSize, 1);
    globalBestPos = inf * ones(1, dim);
    personalBestValues = Inf * ones(swarmSize, 1);
    
    for iter = 1:maxIterations
        % 计算适应度值
        fitness = rastrigrin(particles);
        
        % 更新个人最佳位置和值
        idx = find(fitness < personalBestValues, 1);
        personalBests(idx) = particles(idx,:);
        personalBestValues(idx) = fitness(idx);
        
        % 更新全局最佳位置
        if min(personalBestValues) < globalBestPos
            globalBestPos = personalBests(min(find(personalBestValues < globalBestPos)));
        end
        
        % 更新速度和位置
        r1 = rand(swarmSize, dim);
        r2 = rand(swarmSize, dim);
        velocities = inertiaWeight * velocities + ...
            cognitiveConst * r1 .* (personalBests - particles) + ...
            socialConst * r2 .* (globalBestPos - particles);
        particles = particles + velocities;
        particles = bsxfun(@min, particles, ub);
        particles = bsxfun(@max, particles, lb);
    end
    
    xbest = globalBestPos;
    fbest = rastrigrin(xbest);
end

% Rastrigrin函数
function f = rastrigrin(x)
    n = length(x);
    f = 10 * n + sum(x .^ 2 - 10 * cos(2 * pi * x));
end