马尔可夫决策过程解决实际问题

### 使用马尔可夫决策过程(MDP)解决现实世界问题

#### 应用案例分析

在机器人导航领域，MDP被广泛应用来规划最优路径并避开障碍物。通过定义机器人的位置作为状态\(s\)，移动方向和距离作为行动\(a\)，转移概率矩阵\(P\)表示采取某行动后到达新位置的概率，而奖励函数\(R\)则用于评估目标接近程度或碰撞风险。

对于交通信号控制优化来说，路口各时段车流量构成不同时间片下的状态空间；红绿灯切换方案对应着一系列可行的动作集合；基于历史数据统计得出的状态转换规律形成转移模型；最后以减少等待时间和提高通行效率为目标构建奖励机制[^1]。

import numpy as np

class TrafficLightControl:
    def __init__(self, states, actions, transition_probabilities, rewards):
        self.states = states                    # 定义所有可能的时间片段/车辆数量组合成的状态列表
        self.actions = actions                  # 可选的操作集比如改变哪个方向的灯光颜色
        self.transition_probabilities = transition_probabilities  # 转移概率表
        self.rewards = rewards                  # 奖励值
        
    def policy_evaluation(self, policy):       # 策略评估函数
        V = {state:0 for state in self.states}     # 初始化价值函数V(s)=0
        theta = 0.00001                          # 设定收敛阈值theta
        gamma = 0.9                              # 折扣因子gamma设置为0.9
        while True:
            delta = 0                            # 记录最大变化量delta初始化为零
            for s in self.states:                # 遍历每一个状态s
                v = V[s]
                a = policy[s]                    # 获取当前状态下遵循策略所选取的行为a=policy(s)
                sum_ = sum([p * (self.rewards[(s,a,s_prime)] + gamma*V[s_prime]) \
                           for s_prime,p in zip(self.states,self.transition_probabilities[(s,a)])])
                V[s]=sum_
                delta=max(delta,np.abs(v-V[s]))      # 更新delta记录本次迭代中的最大变动幅度
            
            if delta<theta:                      # 如果最大变动小于给定精度，则停止循环
                break
                
        return V                                 # 返回计算得到的价值函数V
    
traffic_light_control=TrafficLightControl(
    ['low','medium','high'],                     # 不同时间段内的平均车流密度等级(low, medium, high)
    {'red_to_green': 'green', 'green_to_red':'red'},          # 动作：由红转绿 或者 由绿变红
    {(('low','red_to_green'),('low',)):0.8,(('low','red_to_green'),('medium',)):0.2,
     (('medium','red_to_green'),('low',)):0.3,(('medium','red_to_green'),('medium',)):0.7},
    {(('low','red_to_green'),'low'):5,(('low','red_to_green'),'medium'):-1}
)

policy={'low':'red_to_green','medium':'red_to_green'}
value_function=traffic_light_control.policy_evaluation(policy)
print(value_function)

此代码展示了如何利用Python实现简单的交通信号控制系统模拟器，并运用动态规划算法求解该系统的最佳策略。这里仅提供了一个非常基础的例子，在真实场景下还需要考虑更多因素如行人过街请求、紧急车辆优先权等复杂情况。