单映性矩阵matlab求解

### 如何在 MATLAB 中求解单射矩阵

单射矩阵意味着该矩阵具有满秩特性，即其列向量线性无关。为了验证并处理单射矩阵，在MATLAB中可以采用多种方法来确认矩阵是否为单射以及解决相关问题。

#### 使用 `rank` 函数检测矩阵的秩
要判断一个给定的矩阵 \( A \) 是否为单射矩阵，可以通过计算其秩来进行检验。如果矩阵 \( A \) 的大小为 \( m \times n \)，那么当且仅当此矩阵的秩等于较小维度（\( min(m,n) \)），则认为它是单射矩阵[^1]。

% 定义矩阵A
A = randn(4, 3); % 创建一个随机4x3矩阵作为例子

% 计算矩阵A的秩
r = rank(A);

disp(['Matrix Rank: ', num2str(r)]);
if r == size(A, 2)
    disp('The matrix is injective (full column rank).');
else
    disp('The matrix is not injective.');
end

#### 利用 SVD 分解获取更多信息
奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是一种强大的工具，可用于分析任何实数或复数矩阵，并提供关于矩阵结构的重要信息。对于单射矩阵而言，所有非零奇异值的数量应与其列数相匹配。

[U, S, V] = svd(A);
singularValues = diag(S);

nonZeroSingularValuesCount = sum(singularValues > eps * max(size(A)));
disp(['Number of non-zero singular values: ', ...
      num2str(nonZeroSingularValuesCount)]);

if nonZeroSingularValuesCount == size(A, 2)
    disp('All columns are linearly independent.');
else
    disp('Columns are linearly dependent.');
end

#### 解决超定方程组的方法
针对超定方程系统的求解，通常会应用最小二乘法(LS)。这涉及到构建增广矩阵并将原始问题转换成一个新的形式以便更容易找到近似最优解。

b = randn(4, 1); % 假设右侧向量b也是已知的

% 构建增广矩阵[A|b]
Ab = [A b];

% 应用QR分解求解最小二乘问题
[Q,R,p] = qr(Ab,0);
x_ls = R(:,1:end-1)\R(:,end);

disp('Least squares solution:');
disp(x_ls);