在求解Eikonal方程时，快速行进方法相比传统数值方法有何优势，并如何具体应用于处理拓扑变化和曲率计算？

快速行进方法（Fast Marching Method, FMM）是一种专门用于解决Eikonal方程的高效数值技术。与传统的数值方法相比，FMM具有几个显著优势：首先，它是一种单向传播算法，仅需局部信息即可推进前沿，大大减少了不必要的计算量，提高了求解速度；其次，FMM天然适合处理单调递增的前沿，这意味着它可以在保持拓扑稳定的同时，有效追踪界面的演化；再者，FMM在处理拓扑变化方面有其独到之处，它能够自然地处理界面合并、分裂以及尖峰和角点的形成；最后，FMM在计算几何属性如曲率时也显示出其优越性，能够提供较为精确的曲率和法线方向信息，这对于保证计算结果的几何精度至关重要。

参考资源链接：[快速行进方法：解决Eikonal方程的新途径](https://wenku.csdn.net/doc/1mji9vcjux?spm=1055.2569.3001.10343)

具体应用方面，FMM通过构建一个堆结构（优先队列），来存储和更新前沿上的点。在每一步迭代中，算法会选择堆中具有最小到达时间的点进行更新，并计算其邻居点的到达时间。在更新过程中，算法需要确保前沿的单调性，即新的到达时间不会使已更新区域内的点的到达时间变小，这保证了前沿的稳定推进。处理拓扑变化时，FMM在遇到特定的拓扑事件时，例如一个区域的完全包围，它会进行特殊处理来调整前沿的演化过程。计算曲率时，FMM利用水平集方法中计算得到的界面函数的梯度和Hessian矩阵来估算曲率，这在界面复杂或高度曲率的情况下尤其重要。

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参考资源链接：[快速行进方法：解决Eikonal方程的新途径](https://wenku.csdn.net/doc/1mji9vcjux?spm=1055.2569.3001.10343)