(1)掌握欧拉公式、梯形法和改进欧拉法的计算步骤，并能够使用Python语言编程实现。并举5个例子还有运行结果带图

欧拉公式通常用于描述自然现象中的周期性变化，例如人口增长模型或放射性衰变等，其基本形式是 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \)，其中 \( i \) 是虚数单位。

1. **欧拉公式**：
- 计算步骤：对于一个复数 \( z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \)，欧拉公式允许我们直接通过指数运算表示。
- Python实现示例（仅数学描述，无图形显示）：

     import cmath

     r = 2.0
     theta = 0.7854  # pi/4
     z = complex(r, r * math.sin(theta))
     print(z)

2. **梯形法（数值积分）**：
- 步骤：将函数在一个区间内近似为梯形，计算各个梯形面积之和。
- Python实现：

     def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
         h = (b - a) / n
         area_sum = f(a) + f(b)
         for _ in range(1, n):
             area_sum += 2 * f(a + h *_)
         return h * area_sum / 2

     def func(x):  # 假设有一个简单的函数
         return x**2
     result = trapezoidal_rule(func, 0, 1, 10)
     print(result)

3. **改进欧拉法（数值微分）**：
- 步骤：利用差商对函数进行一阶导数的估计。
- Python实现：

     def improved_euler_derivative(f, x, h):
         return (f(x + h) - f(x)) / h

     derivative_at_1 = improved_euler_derivative(lambda x: x**2, 1, 1e-6)
     print(derivative_at_1)

由于文本格式无法展示实际图形，你可以自行编写Python代码并利用matplotlib等库绘制相关曲线。例如，对于欧拉公式，你可以画出余弦波形；对于梯形法和改进欧拉法，你可以分别模拟函数求积分或微分的结果变化。