七次多项式的轨迹规划的公式

七次多项式轨迹规划公式如下：

设起点位置为 $x_0$，起点速度为 $v_0$，起点加速度为 $a_0$；终点位置为 $x_1$，终点速度为 $v_1$，终点加速度为 $a_1$，规划时间为 $T$。

则七次多项式轨迹的一般形式如下：

$$x(t) = a_0 + b_0t + c_0t^2 + d_0t^3 + e_0t^4 + f_0t^5 + g_0t^6$$

其中，$a_0 = x_0$，$b_0 = v_0$，$c_0 = \frac{1}{2}a_0$，$d_0 = \frac{1}{6}a_0$，$e_0 = \frac{1}{24}a_0$，$f_0 = \frac{1}{120}a_0$，$g_0 = \frac{1}{720}a_0$。

求解系数 $a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, g_1$ 的方法如下：

$$\begin{cases}a_1 = x_1 - b_0T - c_0T^2 - d_0T^3 - e_0T^4 - f_0T^5 - g_0T^6\\b_1 = v_1 - c_0 - 2d_0T - 3e_0T^2 - 4f_0T^3 - 5g_0T^4\\c_1 = a_1 - 2d_0 - 6e_0T - 12f_0T^2 - 20g_0T^3\\d_1 = b_1 - 6e_0 - 24f_0T - 60g_0T^2\\e_1 = c_1 - 24f_0 - 120g_0T\\f_1 = d_1 - 120g_0\\g_1 = \frac{1}{720}a_1\end{cases}$$

最终得到的七次多项式轨迹为：

$$x(t) = a_0 + b_0t + c_0t^2 + d_0t^3 + e_0t^4 + f_0t^5 + g_0t^6 + (a_1 - a_0 - b_0T - c_0T^2 - d_0T^3 - e_0T^4 - f_0T^5 - g_0T^6)t^7$$

其中，$0 \leq t \leq T$。