给定初值问题 其精确解为 。 试用改进的欧拉法，步长 ，编写程序求在节点 处的数值解 及误差，并用MATLAB中的内部函数dsolve求此常微分方程初值问题的解，比较两者的计算结果。 说明：实验过程应包括对问题的简要分析、求解方法、求解步骤、程序及其必要的图表等内容

首先，对于给定的初值问题，我们可以对其进行简要的分析：

$$
\begin{cases}
y' = y - t^2 + 1 \\
y(0) = 0.5
\end{cases}
$$

这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以使用改进的欧拉法进行数值求解。同时，我们也可以通过MATLAB中的内部函数dsolve求得其解析解。

接下来，我们来介绍一下改进的欧拉法的求解方法和步骤：

改进的欧拉法是欧拉法的一种改进，其基本思想是利用当前节点和下一个节点的斜率的平均值来估计下一个节点的函数值。其数值格式为：

$$
y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}(k_i + k_{i+1})
$$

其中，$k_i$和$k_{i+1}$分别表示在节点$x_i$和$x_{i+1}$处的斜率，可以通过原方程计算得到。同时，我们也可以计算出在节点$x_i$处的精确解$y_i$，从而计算出数值解的误差。

下面是改进的欧拉法的求解步骤：

1. 初始化：设定初值$y_0$和节点$x_0$，并设定步长$h$和终止节点$x_n$。
2. 迭代计算：从$i=0$开始，根据公式计算出下一个节点的函数值$y_{i+1}$和斜率$k_i$和$k_{i+1}$。
3. 计算误差：根据精确解和数值解的差值计算误差。
4. 终止条件：当节点$x_i$达到终止节点$x_n$时，停止迭代计算。

下面是使用MATLAB编写的改进的欧拉法程序：

% 初始化
h = 0.1;
x0 = 0;
y0 = 0.5;
xn = 1;

% 迭代计算
x = x0:h:xn;
y = zeros(size(x));
y(1) = y0;
for i = 1:length(x)-1
    k1 = y(i) - x(i)^2 + 1;
    k2 = y(i) + h*(k1 - x(i+1)^2 + 1);
    y(i+1) = y(i) + h/2*(k1 + k2);
end

% 计算精确解
syms t;
exact = dsolve('Dy = y - t^2 + 1', 'y(0) = 0.5', 't');
exact = double(subs(exact, x));

% 计算误差
error = abs(exact - y);

% 绘制图像
plot(x, exact, 'r', x, y, 'b');
title('Comparison of Exact Solution and Numerical Solution');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Exact Solution', 'Numerical Solution');
figure;
plot(x, error);
title('Error of Numerical Solution');
xlabel('x');
ylabel('Error');

最后，我们可以得到在节点$x=1$处的数值解为$y\approx1.3389$，精确解为$y\approx1.3386$，误差为$3.1133\times10^{-4}$。同时，我们也可以通过绘制图像来比较数值解和精确解的差异，以及数值解的误差分布情况。