将积分区间分成20等分，使用B样条基函数编写matlab程序求泛函极值的近似解。其中积分区间为y范围[0,1]，x范围[a,b]。泛函为$J(y)=int_{a}^{b}[(\frac{dy}{dx}^2-y^2-2xy]dx$，且y(0)=y(1)=0

首先，我们需要将区间 $[a,b]$ 分成 $20$ 等分，即得到 $21$ 个节点，节点间距为 $h=\frac{b-a}{20}$，节点 $x_i=a+ih$，$i=0,1,\cdots,20$。

然后，我们需要选择 B 样条基函数，这里选择三次 B 样条基函数，即

$$
N_{i,3}(x) = \frac{1}{6h^3} \begin{cases}
(x-x_{i-2})^3, &x_{i-2} \le x < x_{i-1},\\
3(x-x_{i-2})^3-6h(x-x_{i-2})^2+4h^2(x-x_{i-2}), &x_{i-1} \le x < x_{i},\\
-3(x-x_{i})^3+6h(x-x_{i})^2-4h^2(x-x_{i}), &x_{i} \le x < x_{i+1},\\
(x-x_{i})^3, &x_{i+1} \le x < x_{i+2},\\
0, &\text{otherwise}.
\end{cases}
$$

接下来，我们需要构造线性方程组来求解泛函的极值。令 $Y=[y_1, y_2,\cdots, y_{20}]^T$ 为待求解的向量，$A$ 为系数矩阵，$b$ 为右侧常数向量，则线性方程组为 $A Y = b$，其中

$$
\begin{aligned}
A_{ij} &= \int_{a}^{b} N_{i,3}'(x) N_{j,3}'(x) dx - \int_{a}^{b} N_{i,3}(x) N_{j,3}(x) dx - 2\int_{a}^{b} N_{i,3}(x) N_{j,3}(x) x dx,\\
b_i &= -\int_{a}^{b} N_{i,3}(x) x dx.
\end{aligned}
$$

最后，我们可以使用 MATLAB 中的线性代数工具箱求解线性方程组，得到泛函的近似极值。

下面是 MATLAB 代码实现：

% 积分区间分成20等分
a = 0; b = 1;
h = (b-a)/20;
x = a:h:b;

% 三次B样条基函数
N = @(i, x) 1/(6*h^3)* ...
    ( (x-x(i-2)).^3 .* (x>=x(i-2)&x<x(i-1)) + ...
      (3*(x-x(i-2)).^3 - 6*h*(x-x(i-2)).^2 + 4*h^2*(x-x(i-2))) .* (x>=x(i-1)&x<x(i)) + ...
      (-3*(x-x(i)).^3 + 6*h*(x-x(i)).^2 - 4*h^2*(x-x(i))) .* (x>=x(i)&x<x(i+1)) + ...
      (x-x(i+1)).^3 .* (x>=x(i+1)&x<x(i+2)) );

% 构造线性方程组
A = zeros(20);
b = zeros(20,1);
for i = 1:20
    for j = 1:20
        A(i,j) = integral(@(t) diff(N(i,t)).*diff(N(j,t))-(N(i,t).*N(j,t)+2.*N(i,t).*N(j,t).*t),a,b);
    end
    b(i) = -integral(@(t) N(i,t).*t,a,b);
end

% 求解线性方程组
Y = A\b;

% 画出泛函的近似解
xi = linspace(a,b,100);
yi = spline(x,[0; Y; 0],xi);
J = integral(@(x) (diff(yi).^2-yi.^2-2.*x.*yi).^2,a,b);
fprintf('J(y) = %f\n', J);
plot(xi, yi)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Approximate solution of J(y)')