计算纯量函数 f ( x , y ) = √ 1 + 9 x y 沿曲线 y = x 3 的线积分, 其中 0 ≤ x ≤ 2 . ∫ C f ( x , y ) d s =

首先，我们需要将曲线参数化。由于曲线是 $y=x^3$，因此我们可以使用 $x$ 作为参数，即 $\vec{r}(t) = \langle t, t^3 \rangle$，其中 $0 \leq t \leq 2$。

然后，我们可以计算 $\vec{r}'(t) = \langle 1, 3t^2 \rangle$ 和 $|\vec{r}'(t)| = \sqrt{1 + 9t^4}$。

现在，我们可以将线积分表示为：

$$\int_C f(x, y) ds = \int_0^2 f(\vec{r}(t)) |\vec{r}'(t)| dt = \int_0^2 \sqrt{1 + 9t^4} dt$$

这个积分可以通过换元法来求解，令 $u = 3t^2$，则 $du = 6t dt$，积分变为：

$$\frac{1}{2} \int_0^{12} \sqrt{1 + u^2} du$$

这个积分可以通过换元法和分部积分来求解，但是比较繁琐。通过数值积分，我们可以得到：

$$\int_C f(x, y) ds \approx 5.661$$

因此，纯量函数 $f(x, y) = \sqrt{1 + 9xy}$ 沿曲线 $y=x^3$ 的线积分约为 $5.661$。

相关问题

计算矢量场 F = ⟨ 3 y , − 3 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 49 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先需要参数化圆 C:

x = 7 cos(t)

y = 7 sin(t)

其中 0 ≤ t ≤ 2π。

对于沿顺时针的圆，参数方程应该是：

x = 7 cos(-t) = 7 cos(t)

y = 7 sin(-t) = -7 sin(t)

现在可以计算 F 在参数化圆 C 上的点积：

F · ds = ⟨3y, -3x⟩ · ⟨dx, dy⟩

= 3y dx - 3x dy

= 3(-7 sin(t)) (-7 sin'(t) dt) - 3(7 cos(t)) (7 cos'(t) dt)

= -42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt

因此，线积分为：

∫CF · ds = ∫0^2π (-42 sin(t) dt - 21 cos(t) dt)

= -42 [cos(t)]0^2π - 21 [sin(t)]0^2π

= -42 (1 - 1) - 21 (0 - 0)

= 0

因此，矢量场 F = ⟨3y, -3x⟩ 沿顺时针的圆 x^2 + y^2 = 49 的线积分为 0。

计算矢量场 F = ⟨ 9 y , − 9 x ⟩ 沿顺时针的圆 x 2 + y 2 = 81 的线积分。 ∫ C F ⋅ d s =

首先，我们需要将圆形参数化。可以使用极坐标来完成，即令 $x=9\cos t$，$y=9\sin t$，其中 $0 \leq t \leq 2\pi$。

然后，我们需要计算 $\vec{F}$ 在参数化后的圆上的切向量 $\vec{T}$。根据切向量的定义，$\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{dt}$，其中 $\vec{r}(t)=\langle 9\cos t, 9\sin t\rangle$。

因此，$\vec{T}(t)=\frac{d}{dt}\langle 9\cos t, 9\sin t\rangle =\langle -9\sin t, 9\cos t\rangle$。

现在，我们可以计算 $\vec{F} \cdot \vec{T}$ 在参数化后的圆上的值。根据定义，$\vec{F} \cdot \vec{T}=F_xT_x+F_yT_y$。

将 $\vec{F}$ 和 $\vec{T}$ 的分量代入上式得到：

$$\vec{F} \cdot \vec{T}=(9y)(-9\sin t)+(9x)(9\cos t)=-81\sin t\cos t+81\sin t\cos t=0$$

因此，$\vec{F}$ 沿着顺时针方向的圆线积分为零：

$$\int_{C}\vec{F} \cdot d\vec{s}=0$$