用Armijo法求Rosenbrock函数f(x)=100(x_2-x_1^2 )^2+(1-x_1 )^2的步长,已知x^k=〖(0,0)〗^T,d^k=〖(1,0)〗^T python

Armijo法则是一种常用的线搜索算法，用于优化过程中确定步长，使得目标函数沿着负梯度方向下降的同时满足一定的凹性条件。对于Rosenbrock函数 \( f(x) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2 \)，我们有初始点 \( x^k = (0, 0) \), 步长方向 \( d^k = (1, 0) \)。

以下是Python中使用Armijo法则求解步骤的基本思路：

import numpy as np

def rosenbrock_function(x):
    return 100 * (x[1] - x[0]**2)**2 + (1 - x[0])**2

def negative_gradient(f, x):
    df = np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0]**2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0]**2)])
    return df

def armijo_step(f, x, d, alpha=0.01, beta=0.5, c=0.1):
    step_size = 1
    while True:
        new_x = x + step_size * d
        if f(new_x) <= f(x) + c * step_size * np.dot(negative_gradient(f, x), d):
            break
        else:
            step_size *= beta
    return step_size

# 初始化变量
x_k = np.array([0, 0])
d_k = np.array([1, 0])

# 计算 Armijo 法的步长
step_length = armijo_step(rosenbrock_function, x_k, d_k)

在这个例子中，`armijo_step` 函数不断减小 `step_size` 直到满足 Armijo 条件，即目标函数沿负梯度方向的新值小于旧值加上一个与步长成比例的缩放值。注意这只是一个简化的版本，实际应用中可能需要更复杂的循环控制和边界检查。