试推导一维杆中线弹性波传播的运动方程与弹性纵波声速表达式

一维杆中线上的弹性波可以看作是纵向的弹性波。设杆的长度为L，横截面积为A，密度为ρ，杨氏模量为E，则杆的刚度为k=EA/L。在坐标系x方向上，根据牛顿第二定律，可以得到弹性波在杆中传播的运动方程为：

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{k}{\rho A}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$

其中，u(x,t)表示在x处和t时刻的杆的位移量。

由于这是一维情况，所以可以将波的传播方向看作是x方向，因此，弹性纵波的速度可以表示为：

$$v=\sqrt{\frac{k}{\rho A}}=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

其中，v表示弹性纵波的速度。这个表达式称为弹性纵波的声速表达式。