已知曲线两端点坐标和两点切向量坐标，求hermit插值多项式

假设曲线起点为 $P_0=(x_0, y_0)$，终点为 $P_1=(x_1, y_1)$，起点处的切向量为 $\vec{T_0}=(x_0', y_0')$，终点处的切向量为 $\vec{T_1}=(x_1', y_1')$。我们要求的是一条三次Hermite插值曲线的方程。

设这条曲线的方程为 $y=f(x)$，则Hermite插值多项式可以表示为：

$$
\begin{aligned}
H_0(x)&=2x^3-3x^2+1\\
H_1(x)&=x^3-2x^2+x\\
H_2(x)&=-2x^3+3x^2\\
H_3(x)&=x^3-x^2
\end{aligned}
$$

则Hermite插值曲线方程为：

$$
f(x)=H_0(x)y_0 + H_1(x)k_0 + H_2(x)y_1 + H_3(x)k_1
$$

其中 $k_0$ 和 $k_1$ 分别为曲线起点和终点处的切向量斜率，可以表示为：

$$
\begin{aligned}
k_0&=\frac{y_1-y_0-(x_1-x_0)y_0'}{x_1-x_0}\\
k_1&=\frac{y_1-y_0-(x_1-x_0)y_1'}{x_1-x_0}
\end{aligned}
$$

将 $H_0(x), H_1(x), H_2(x), H_3(x), y_0, y_1, k_0, k_1$ 代入公式，即可得到三次Hermite插值曲线的方程。

需要注意的是，如果曲线起点和终点处的切向量斜率相等，即 $k_0=k_1$，则三次Hermite插值曲线就变成了二次插值曲线，此时的插值多项式为：

$$
f(x)=(1-t)y_0+ty_1+t(1-t)k_0(x_1-x_0)
$$

其中 $t=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$。