"最小二乘法和线性回归"
最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)和线性回归是一种常用的统计分析方法,广泛应用于经济学、金融学、管理科学等领域。本文将详细介绍最小二乘法和线性回归的基本原理、计算方法、经典线性回归模型的基本假定、BLUE 统计量的性质、t 检验和置信区间检验的原理及步骤、多变量模型的回归系数的 F 检验、预测的类型及评判预测的标准、好模型具有的特征等内容。
一、最小二乘法的基本属性
在金融、经济变量之间的关系中,有两种类型:函数关系和相关关系。函数关系是指 Y 的值是由 Xi(i=1,2….p)所唯一确定的,而相关关系是指 Y 的值不能由 Xi(i=1,2….p)精确的唯一确定的。通过图 2-1 货币供应量和 GDP 散点图,可以看到,数据点都相对集中在一条直线周围,这条直线可以大致代表 x 与 y 之间的关系。如果我们能够确定这条直线,我们就可以用直线的斜率来表示当 x 变化一单位时 y 的变化程度。
二、参数的最小二乘估计
最小二乘法的基本原则是:最优拟合直线应该使各点到直线的距离的和最小,也可表述为距离的平方和最小。假定根据这一原理得到的 α、β 估计值为 ˆα、ˆβ,则直线可表示为 ˆttyxαβ=+。直线上的 yt值,记为 ˆy,称为拟合值(fitted value),实际值与拟合值的差,记为 e,称为残差(residual),可以看作是随机误差项 u 的估计值。
三、经典线性回归模型的基本假定
经典线性回归模型的基本假定包括 BLUE 统计量的性质、t 检验和置信区间检验的原理及步骤、多变量模型的回归系数的 F 检验等内容。BLUE 统计量是指 Best Linear Unbiased Estimator,它是指在所有线性无偏估计量中具有最小方差的估计量。t 检验和置信区间检验是用来检验回归系数是否显著的方法。多变量模型的回归系数的 F 检验是用来检验多个自变量对因变量的影响的方法。
四、预测的类型及评判预测的标准
预测的类型包括点估计和区间估计。点估计是指对一个未知参数的单个值的估计,而区间估计是指对一个未知参数的区间范围的估计。评判预测的标准包括均方根误差、平均绝对误差、R 平方等指标。
五、好模型具有的特征
好模型具有的特征包括拟合度高、残差白噪声、自变量之间不存在multilinearity、残差分布正态等特征。拟合度高是指模型能够很好地拟合数据,残差白噪声是指残差序列呈现白噪声的特征,自变量之间不存在multilinearity是指自变量之间不存在multilinearity关系,残差分布正态是指残差分布呈现正态分布的特征。
线性回归最小二乘法(Simple Linear Regression)是一种常见的回归分析方法,用于建立一个线性模型来描述两个变量之间的关系。在该方法中,我们试图找到一条直线,使得所有数据点到该直线的距离之和最小。这个距离可以用每个数据点的实际值与预测值之间的差来表示。最小二乘法是一种优化方法,通过最小化误差平方和来找到最佳拟合直线。