使用时域麦克斯韦推导频域麦克斯韦方程

当我们从时域（time-domain）的麦克斯韦方程组出发去推导其频率域（frequency-domain）的形式，实际上是应用傅里叶变换这一数学工具。麦克斯韦方程包括电场强度E和磁场强度H的关系，以及它们随时间和空间变化的规律。

在时域下，麦克斯韦方程通常写作：
1. 高斯电磁感应定律 (Faraday's law)：dE/dt = - ∇ × H
2. 安培环路定理 (Ampère's circuital law): ∂H/∂t = ∇ × E + J
3. 高斯电荷定律 (Gauss's law for electricity): ∇ · D = ρ
4. 高斯电流定律 (Gauss's law for magnetism): ∇ · B = 0

其中，D是电位移矢量，B是磁感应强度，J是电流密度，ρ是电荷密度。

通过傅里叶变换，我们假设电场、磁场、电压源和电流源都是正弦波形式，并对上述每个表达式分别应用傅立叶变换。这样可以将时间依赖项转换为频率依赖项。例如，对时间的一阶导数变成复数乘以频率，而空间偏微分则保持不变。

经过这些变换，我们得到的频域麦克斯韦方程包括：
1. 高斯电场定律：∇ × (E * e^(-jωt)) = -jωμH * e^(-jωt)
2. 安培环路定律：∇ × (H * e^(-jωt)) = jωεE * e^(-jωt) + J * e^(-jωt)
3. 高斯电荷定律：∇ · D = ρ * δ(ω)
4. 高斯磁场定律：∇ · B = 0

这里的j是虚数单位，ω是角频率，e^(jwt)是信号的复指数形式，δ(ω)是狄利克雷函数，表示频率域中的点源。