用C语言编程最小二乘法

在C语言中，最小二乘法通常用于线性回归分析，通过最小化误差平方和找到数据的最佳拟合直线。这里是一个简单的最小二乘法求解线性方程组的步骤：

1. 定义线性模型：设有一组数据点 (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)，我们想要拟合线性关系 y = a * x + b，其中a和b是未知系数。

2. 创建矩阵表示：构建增广矩阵 A，它包含所有输入值和常数项 1。A 的结构通常是这样的：

   | x_1  1 |
   | x_2  1 |
   | ...  ... |
   | x_n  1 |

3. 创建目标向量 b：将所有 y 值组成一个列向量。

4. 矩阵求逆或QR分解：计算矩阵 A 的逆 A_inv 或者使用 QR 分解，这是因为直接求逆可能遇到大规模矩阵导致溢出的问题。

5. 求解线性方程：如果使用 A_inv，解为 (a, b) = A_inv * b；如果用 QR 分解，则有 (a, b) = Q * R^T * b。

6. 计算误差：对每个预测值 (a * x_i + b) 和真实值 y_i 计算残差（error），然后求平均平方误差作为评估结果。

下面是一个简化的C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double mean(double array[], int n) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += array[i];
    }
    return sum / n;
}

void least_squares(double x[], double y[], double *slope, double *intercept, int n) {
    double x_mean = mean(x, n);
    double y_mean = mean(y, n);
    double numerator = 0, denominator = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        numerator += (x[i] - x_mean) * (y[i] - y_mean);
        denominator += pow((x[i] - x_mean), 2);
    }

    *slope = numerator / denominator;
    *intercept = y_mean - (*slope) * x_mean;
}

int main() {
    double x[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    double y[] = {2, 4, 5, 7, 9};

    double slope, intercept;
    least_squares(x, y, &slope, &intercept, 5);

    printf("线性回归斜率: %.2f\n", slope);
    printf("截距: %.2f\n", intercept);

    return 0;
}

这个代码实现了单变量的最小二乘法，对于更复杂的线性模型，可能需要扩展到多元回归，并考虑使用数值库如BLAS或LAPACK。