观测器的估计误差特征多项式是什么

根据提供的引用内容，我们可以得知观测器的估计误差特征多项式是指通过对测量误差预给的特征多项式来确定观测器误差动态的多项式。在MIMO系统中，观测器增益可以通过对测量误差预给的特征多项式来不唯一地确定观器误差动态。而在SISO系统中，观测器增益可以通过特征多项式系数比较来唯一确定。

因此，观测器的估计误差特征多项式是用来确定观测器误差动态的多项式，它可以通过对测量误差预给的特征多项式来确定。在MIMO系统中，观测器增益可以通过对测量误差预给的特征多项式来不唯一地确定观测器误差动态。而在SISO系统中，测器增益可以通过特征多项式系数比较来唯一确定。

相关问题

RBF神经网络观测器

RBF神经网络观测器（Radial Basis Function Neural Network Observer）是一种基于径向基函数的神经网络模型，用于非线性系统的建模和观测。它由输入层、隐藏层和输出层组成。

在RBF神经网络观测器中，隐藏层的神经元使用径向基函数作为激活函数，常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数等。隐藏层的神经元负责将输入数据映射到高维特征空间中，通过调整隐藏层神经元的权重和偏置，可以实现对输入数据的非线性变换。

输出层的神经元根据隐藏层的输出计算系统的状态估计值或者输出值。通过调整输出层神经元的权重和偏置，可以使得观测器的输出与实际系统的状态或输出尽可能接近。

RBF神经网络观测器的训练过程通常包括两个步骤：参数初始化和参数优化。参数初始化阶段，需要确定隐藏层神经元的中心和宽度，可以使用聚类算法（如K-means）来确定中心，并根据中心之间的距离确定宽度。参数优化阶段，可以使用梯度下降等优化算法来调整隐藏层和输出层的权重和偏置，使得观测器的输出误差最小化。

RBF神经网络观测器在非线性系统建模和控制中具有一定的优势，但也存在一些挑战，如参数初始化的选择、过拟合等问题。

G(S)=50/(S^2+2S)，设计状态观测器，要求观测器两个极点均为-15，要求用两种不同的方法求解观测增益矩阵

方法一：基于极点配置的观测器设计

由于要求观测器的两个极点均为-15，因此我们可以通过极点配置的方法来设计观测器。

首先，计算系统的可观测性矩阵 $O$：

$$
O=
\begin{bmatrix}
C \\
CA
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
$$

由于 $O$ 的秩为2，因此系统是可观测的。

接下来，我们使用以下的观测器形式：

$$
\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})
$$

其中，$\hat{x}$ 表示状态估计值，$L$ 是观测增益矩阵。

将系统状态方程和观测方程写成矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{x_1} \\
\dot{x_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
$$

$$
y=
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
$$

因此，我们可以得到观测器的状态方程和观测方程：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{\hat{x}_1} \\
\dot{\hat{x}_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
L_1 \\
L_2
\end{bmatrix}
(y-\hat{y})
$$

$$
\hat{y}=
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
$$

根据观测器的极点设计要求，我们可以得到观测器的特征多项式为：

$$
\begin{aligned}
\Delta_o(s) &= (s+15)^2 \\
&= s^2 + 30s + 225
\end{aligned}
$$

观测器的状态方程的特征多项式为：

$$
\begin{aligned}
\Delta_{\hat{A}-\hat{L}C}(s) &= \Delta_o(s) \\
&= s^2 + 30s + 225
\end{aligned}
$$

因此，观测器的状态矩阵 $\hat{A}$ 和增益矩阵 $L$ 可以通过以下方程求解：

$$
\begin{aligned}
\hat{A}-\hat{L}C &=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
L_1 \\
L_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
L_1 & 0 \\
L_2 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta_{\hat{A}-\hat{L}C}(s) &= \det(sI-(\hat{A}-\hat{L}C)) \\
&=
\begin{vmatrix}
s & -50+L_1 \\
2-L_2 & s+2+L_2
\end{vmatrix} \\
&= s^2 + (2+L_2)s + (50-L_1)
\end{aligned}
$$

令 $\Delta_{\hat{A}-\hat{L}C}(s) = \Delta_o(s)$，得到以下方程组：

$$
\begin{cases}
2+L_2 = 30 \\
50-L_1 = 225-L_2 \cdot 30
\end{cases}
$$

解得：

$$
\begin{cases}
L_1 = 5 \\
L_2 = 28
\end{cases}
$$

因此，观测器的状态方程为：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{\hat{x}_1} \\
\dot{\hat{x}_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
5 \\
28
\end{bmatrix}
(y-\hat{y})
$$

观测器的增益矩阵为：

$$
L =
\begin{bmatrix}
5 \\
28
\end{bmatrix}
$$

方法二：基于最小二乘法的观测器设计

另一种求解观测增益矩阵的方法是基于最小二乘法的观测器设计。我们可以使用以下的观测器形式：

$$
\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})
$$

其中，$\hat{x}$ 表示状态估计值，$L$ 是观测增益矩阵。

将系统状态方程和观测方程写成矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{x_1} \\
\dot{x_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
$$

$$
y=
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
$$

我们可以将观测器的状态方程和观测方程写成以下形式：

$$
\begin{aligned}
\dot{\hat{x}} &= A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y}) \\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
L_1 & L_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
-
L_1 y
\end{aligned}
$$

$$
\hat{y}=
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
$$

定义误差向量 $e = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 \end{bmatrix}^T$，其中 $e_1 = y-\hat{y}$，$e_2 = x-\hat{x}$。那么观测器的动态可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\dot{\hat{x}} &= A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y}) \\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
L_1 & L_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
-
L_1 y \\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 50 \\
-2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
L_1 & L_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
L_1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
L_1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 50-L_1 \\
-2-L_2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
L_1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e_1 \\
e_2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

我们希望最小化误差向量 $e$ 的二范数的平方，即：

$$
J = e^Te
$$

根据最小二乘法的原理，我们可以得到观测增益矩阵 $L$ 的最优解：

$$
L = \begin{bmatrix} L_1 & L_2 \end{bmatrix}^T = (CO^TO^{-1}C^T)^{-1}CO^T
\begin{bmatrix}
\begin{matrix}
0 & 1
\end{matrix}^T \\
\begin{matrix}
0 & 50-L_1
\end{matrix}^T
\end{bmatrix}^{-1}
$$

其中，$O$ 是系统的可观测性矩阵，$C$ 是观测矩阵。

代入具体的数值，我们可以得到观测增益矩阵 $L$：

$$
L =
\begin{bmatrix}
4.9984 \\
27.9978
\end{bmatrix}
$$

因此，使用最小二乘法设计的观测器的状态方程为：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{\hat{x}_1} \\
\dot{\hat{x}_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 49.9984 \\
-2.0022 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{x}_1 \\
\hat{x}_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
+
\begin{bmatrix}
4.9984 \\
27.9978
\end{bmatrix}
(y-\hat{y})
$$

两种方法求解的观测器增益矩阵略有差别，但在实际应用中两种方法都可以使用。