把下面一段文字写成我看的懂的形式:由矩阵行列式性质,有$|AB|=|A||B|$ 和 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$,则: $$ |A+B^{-1}|=|A^{-1}A+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=|A^{-1}(A+B^{-1})||A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}| $$ 又因为$|A|=3$,$|B|=2$,$|A^{-1}+B|=2$,则: $$ |A^{-1}B^{-1}|=\frac{|A^{-1}+B|-|A^{-1}||B|}{2}=\frac{2-3\times 2}{2}=-\frac{2}{2}=-1 $$ 然后,根据行列式的定义展开计算: $$ \begin{aligned} |I_3+A^{-1}B^{-1}|&=\left|\begin{matrix}1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\ &=\left|\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} \end{aligned} $$ 综上所述,$|A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=2\times \frac{5}{8}=\frac{5}{4}$。因此,$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。
时间: 2023-08-08 11:08:48 浏览: 42
这段文字在讲如何计算$|A+B^{-1}|$的值。首先,根据矩阵行列式性质,可以得到$|AB|=|A||B|$和$|A^{-1}|=|A|^{-1}$。然后通过一些推导,得到了$|A^{-1}B^{-1}|=-1$和$|I_3+A^{-1}B^{-1}|=\frac{5}{8}$。最后,利用行列式的定义展开计算,得到$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。
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为何最大范数不满足||Ax||<=||A||||x||,||AB||<=||A||||B||
最大范数是指向量中绝对值最大的元素,因此在计算矩阵A的最大范数时,需要找到一个向量x,使得||x||=1且||Ax||的值最大。但是,这并不意味着对于任意向量x,都有||Ax||<=||A||||x||成立。同样地,对于矩阵乘积AB,也不能保证||AB||<=||A||||B||。这是因为矩阵乘积的范数不满足乘法结合律,即||AB||<=||A||||B||不一定成立。
2.请以至少三种方法证明下述题目: 设两个3阶非零矩阵A、B满足AB=O,则|A| =0且|B|=0.
证:
方法一:使用行列式的性质
由于$AB = O$,所以有$|AB| = 0$。而根据行列式的性质,有$|AB| = |A| \cdot |B|$,因此有$|A| \cdot |B| = 0$。
因为$A$和$B$都是非零矩阵,所以它们的行列式都不为零。因此,我们得到$|A|=0$和$|B|=0$。
方法二:使用矩阵的秩
根据矩阵乘法的定义,$AB$的秩小于等于$\min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$。因为$AB=O$,所以$AB$的秩为零。因此,有$\text{rank}(A) \leq 0$或$\text{rank}(B) \leq 0$。
但是,矩阵的秩是非负整数,因此只有$\text{rank}(A) = 0$或$\text{rank}(B) = 0$,即$A$或$B$的秩为零。根据矩阵秩为零的定义,它们的行列式为零。因此,有$|A|=0$和$|B|=0$。
方法三:使用矩阵的特征值
设$\lambda$是$A$的一个特征值,则存在非零向量$v$,使得$Av = \lambda v$。因为$AB=O$,所以有$(AB)v = A(Bv) = Ov = 0$。因此,$Bv$是$A$的零特征值对应的特征向量。
因为$A$是一个$3\times 3$矩阵,它最多只有三个特征值,因此它的特征值之一必须为零。因此,$|A|=0$。
同样地,我们可以用矩阵$B$的特征值来证明$|B|=0$。