fleury算法时间复杂度

Fleury算法是一种用于求解欧拉回路的算法。它的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的数量。

Fleury算法的基本思想是从任意一个顶点开始，选择一个未访问过的边进行遍历，直到无法再选择下一条边为止。在选择下一条边时，需要考虑保证不会断开图的连通性，并且要避免形成桥（桥是指删除后会增加图的连通分量数量的边）。

Fleury算法的时间复杂度主要来自于每次选择下一条边时的判断和更新操作。在最坏情况下，需要遍历所有的边，而每次选择下一条边时都需要进行一系列的判断和更新操作，因此时间复杂度为O(V^3)。

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好的，下面是一套完整的大一数据结构C语言版期末算法大题及答案：

1. 有一个长度为 n 的整数数组 nums，其中有一个重复出现了两次，另外 n-2 个数字各不相同。请找出这个重复的数字。要求时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。请编写程序实现算法。

2. 给定一个长度为 n 的整数数组 nums，其中每个元素都是 1 到 n 之间的整数，但是有一个元素重复了两次，另外一个元素缺失了。请找出这两个元素，并返回它们。要求时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。请编写程序实现算法。

3. 给定一个无序整数数组 nums，要求对该数组进行快速排序，并输出排序后的结果。要求时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度为 O(log n)。请编写程序实现算法。

4. 给定一个图 G，其中每个顶点的度数均为偶数。请找出 G 的欧拉回路，并输出该回路的路径。要求时间复杂度为 O(V+E)，空间复杂度为 O(E)。请编写程序实现算法。

5. 给定一个长度为 n 的字符串 s，要求对该字符串进行 Huffman 编码，并输出编码后的结果。要求时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度为 O(n)。请编写程序实现算法。

答案：

1. 可以使用异或运算来解决这个问题，因为异或运算满足以下性质：a^b^b=a，a^b^a=b。因此，我们可以遍历整个数组，对每个数字进行异或运算，如果出现了重复的数字，那么最终的异或结果就是这个数字。具体实现如下：

int findDuplicate(int* nums, int numsSize){
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        res ^= nums[i];
        res ^= i;
    }
    return res;
}

2. 这个问题可以转化为求解以下两个方程组：

x + y = sum - n(n+1)/2

x^2 + y^2 = sumOfSquares - n(n+1)(2n+1)/6

其中，sum 表示数组中所有元素之和，sumOfSquares 表示数组中所有元素的平方之和。根据这两个方程组，我们可以求出 x 和 y 的值，进而得到重复的元素和缺失的元素。具体实现如下：

int* findErrorNums(int* nums, int numsSize, int* returnSize){
    int* res = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
    int sum = 0, sumOfSquares = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        sum += nums[i];
        sumOfSquares += nums[i] * nums[i];
    }
    int diff = sum - numsSize * (numsSize + 1) / 2;
    int diffSquare = sumOfSquares - numsSize * (numsSize + 1) * (2 * numsSize + 1) / 6;
    int xPlusY = diff;
    int xMinusY = sqrt((long long)diff * diff - 4 * diffSquare);
    int x = (xPlusY + xMinusY) / 2;
    int y = (xPlusY - xMinusY) / 2;
    res[0] = y;
    res[1] = x;
    *returnSize = 2;
    return res;
}

3. 快速排序算法的核心思想是分治法。具体实现如下：

void quickSort(int* nums, int left, int right){
    if (left >= right) {
        return;
    }
    int i = left, j = right;
    int pivot = nums[left];
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= pivot) {
            j--;
        }
        nums[i] = nums[j];
        while (i < j && nums[i] <= pivot) {
            i++;
        }
        nums[j] = nums[i];
    }
    nums[i] = pivot;
    quickSort(nums, left, i - 1);
    quickSort(nums, i + 1, right);
}

4. 欧拉回路的存在条件是：图 G 是连通的，并且 G 中每个顶点的度数均为偶数。欧拉回路的求解方法是 Fleury 算法。具体实现如下：

void euler(int u){
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (!vis[u][v]) {
            vis[u][v] = vis[v][u] = true;
            euler(v);
            ans.push_back(u);
        }
    }
}

5. Huffman 编码的核心思想是贪心算法。具体实现如下：

typedef struct TreeNode{
    int val;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
} TreeNode;

TreeNode* createNode(int val){
    TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
    node->val = val;
    node->left = NULL;
    node->right = NULL;
    return node;
}

TreeNode* buildHuffmanTree(int* freq, int n){
    PriorityQueue* pq = createPriorityQueue(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        enqueue(pq, createNode(freq[i]));
    }
    while (size(pq) > 1) {
        TreeNode* left = dequeue(pq);
        TreeNode* right = dequeue(pq);
        TreeNode* parent = createNode(left->val + right->val);
        parent->left = left;
        parent->right = right;
        enqueue(pq, parent);
    }
    TreeNode* root = dequeue(pq);
    destroyPriorityQueue(pq);
    return root;
}

void dfs(TreeNode* node, char* path, int depth, char** res, int* returnSize){
    if (!node->left && !node->right) {
        path[depth] = '\0';
        res[*returnSize] = (char*)malloc(sizeof(char) * (depth + 1));
        strcpy(res[*returnSize], path);
        (*returnSize)++;
        return;
    }
    if (node->left) {
        path[depth] = '0';
        dfs(node->left, path, depth + 1, res, returnSize);
    }
    if (node->right) {
        path[depth] = '1';
        dfs(node->right, path, depth + 1, res, returnSize);
    }
}

char** huffman(int* freq, int n, int* returnSize){
    TreeNode* root = buildHuffmanTree(freq, n);
    char* path = (char*)malloc(sizeof(char) * (n + 1));
    char** res = (char**)malloc(sizeof(char*) * n);
    *returnSize = 0;
    dfs(root, path, 0, res, returnSize);
    return res;
}