给定两个向量，维度尽可能高，至少取5万维，比较 $u^Tv$，使用for-loop 计算的时间差

在给定两个高维向量的情况下，计算它们的点积（$u^Tv$）可以通过多种方式实现。对于高维向量来说，直接使用for-loop进行计算通常效率不高，因为它涉及大量的迭代和逐元素操作，这在高维空间中会导致巨大的计算量。

举个例子，如果我们要用Python编写代码来计算两个5万维向量的点积，使用for-loop的代码可能如下：

import time

# 假设u和v是已经准备好的两个长度为50000的向量
u = [random.random() for _ in range(50000)]
v = [random.random() for _ in range(50000)]

start_time = time.time()
dot_product = 0
for i in range(len(u)):
    dot_product += u[i] * v[i]
end_time = time.time()

print("使用for-loop计算的点积是:", dot_product)
print("计算耗时：", end_time - start_time, "秒")

这段代码首先初始化了两个随机向量u和v，每个向量包含5万个项目。然后，代码通过一个for-loop迭代每个维度，将对应的元素相乘后累加到dot_product变量中。这个过程中，我们使用`time.time()`记录了开始和结束的时间，以计算总耗时。

使用for-loop进行这种计算通常会花费较长的时间，特别是在处理如此高维度的数据时。相比之下，更高效的方法包括使用向量化操作，如Numpy库中提供的点积函数，可以利用底层的优化和并行计算大大加快计算速度。

使用Numpy库的代码示例如下：

import time
import numpy as np

# 将Python列表转换为Numpy数组
u = np.random.rand(50000)
v = np.random.rand(50000)

start_time = time.time()
dot_product = np.dot(u, v)
end_time = time.time()

print("使用Numpy的点积函数计算的结果是:", dot_product)
print("计算耗时：", end_time - start_time, "秒")

通过Numpy进行计算，不仅代码更加简洁，而且执行速度也大大提升。